ВВЕДЕНИЕ 2 страница. Для системы сходящихся сил главный вектор совпадает с равнодействующей.

(8.1)

Для системы сходящихся сил главный вектор совпадает с равнодействующей.

Главный момент системы равен геометрической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения:

(8.2)

Модуль главного вектора и главного момента можно выразить через проекции на координатные оси:

(8.3)

где (8.4)

(8.5)

где (8.6)

1.9. ВТОРАЯ ЗАДАЧА СТАТИКИ - определение условий равновесия твердого тела.

Твердое тело под действием приложенной системы сил будет

находиться в состоянии равновесия, если главный вектор и главный момент системы сил будут равны нулю, т.е. тело не имеет возможности дли перемещения вдоль любой координатной оси или поворота вокруг любой из осей.

Условия равновесия твердого тела в геометрической форме имеет вед

(9.1)

Аналитические условия равновесия твердого тела можно по­лучить, приравняв нулю модули главного вектора и главного мо­мента всех сил системы. Уравнения равновесия для всех частных случаев расположения сил, действующих на тело, представлены в табл. I.

Решение задач на равновесие твердого тела осуществляют в следующем порядке:

1) выделяют объект равновесия, т.е. точку или тело, равновесие
которых требуется рассмотреть;

2) к выделенному объекту равновесия прикладывают заданные си­лы;

3) освобождают тело или точку от связей, заменяя их реакциями
связей;

4) выбирают систему координат и составляют уравнения равновесия;

5) решая составленные уравнения равновесия, определяют искомые
величины;

6) для проверки решения составляют уравнения равновесия, не использованные в расчете; если задача решена верно, уравнение обращается в тождество.

1.10. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ.

Аналитически условия равновесия тела под действием плоской системы сходящихся сил определяются двумя уравнениями:

(10.1)

Система сил	Число уравнений равно-весия	Символическая запись уравнений равновесий	Приме-чание
1.Произвольная пространственная система сил.
2.Пространствен-ная система параллельных сил.			Силы параллельны оси Z
3. Пространст-венная система сходящихся сил.
4. Произвольная плоская система.		или или	ось не перпендикулярна прямой АВ; точки А,В и С не лежат на одной прямой
5. Плоская система параллельных сил.			силы параллельные оси y
6. Плоская система сходящихся сил.

Пример №2.

Лебедкой D поднимают груз Р=10кН (рис.34). Трос перекинут через блок, укрепленный в точке В стержнями АВ и АС. Определить усилия в стержней АВ и ВС, считая крепление стержней в точках А,В и С шарнирным. Расположение стержней и троса показано на схеме.

Решение:

1. Выделяем узел В, равновесие которого будем рассматривать. Размерами блока В пренебрегаем. Заданными силами являются сила тяжести и натяжение троса , равное силе тяжести груза.

2. Освобождаемся от связей, заменяя их реакциями и , предварительно предполагая стержни растянутыми. Систему координат выбираем с началом в точке В. Составляем уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

(1)

(2)

После подстановки численных значений получим систему двух уравнений:

(3)

(4)
Умножив уравнение (3) на 0,5, а уравнение (4) на 0,866 и сложив полученные уравнения, получим:

Из (3):

Знак (-) показывает, что усилие в стержне ВС – сжимающее.

Примечание. Уравнения равновесия можно получить более простыми, если оси координат и направить вдоль стержней АВ и АС:

(5)

(6)

Из (5) с учетом того, что R=P, получим N₂ =0;

Из (6):

1.11. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ.

Равновесие плоской системы сил, параллельных оси Y, можно записать следующим образом:

(11.1)

или (11.2)

При этом точки А и В не должны лежать на прямой, параллельной линиям действия сил.

Пример №3.

Поворотный кран предназначен для подъема груза P=12кН. Определить опорные реакции при следующих исходных данных:

вес колонны:

вес тележки:

вес тележки вес привода подъема:

вес привода поворота:

интенсивность распределенной нагрузки:

Решение:

1.Рассматриваем равновесие поворотного крана. Заданными силами являются силы тяжести: , распределенная нагрузка интенсивностью и .

2. Равномерно распределенную нагрузку заменяем сосредоточенной:

Равнодействующие и распределенной нагрузки прикладываем в середине основания соответствующих прямоугольников.

3. Освобождаемся от связей, заменяя их реакциями. Так как к поворотному крану приложена плоская система сил, реакция подшипника А будет представлена одной составляющей , а подпятника В – составляющими и . При составлении уравнения моментов за моментную точку принимаем точку В, через которую проходят линии действия двух неизвестных величин и .

С учетом выбранной системы координат составляем уравнения равновесия:

(1)

(2)

(3)

Решая систему уравнений (1)-(3), находим:

из (2):

из (3):

из (1):

Для проверки составим уравнение моментов относительно точки А:

Следовательно, задача решена правильно.

1.12. ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА О МОМЕНТЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ.

Систему, сходящихся сил, приложенных к твердому телу, можно привести к равнодействующей (см. раздел 2). Момент равнодействующей относительно любого центра или оси равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно того же центра или оси (теорема Вариньона).

(12.1)

Эту теорему часто используют при решении задач. Пусть, например, требуется определить момент силы относительно точки А (рис.36). Силу можно разложить на составляющие и ,где

Тогда

1.13. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил можно определить тремя уравнениями:

(13.1)

Другие варианты уравнений равновесия приведены в таблице.1.

Пример №4.

Определить опорные реакции жесткой рамы (рис.37), закрепленной в точке А шарнирно, а в точке В прикрепленной к невесомому стержню. На раму действует пара сил с моментом М, силы и натяжение троса под действием груза .

Решение:

1.Рассматриваем равновесие жесткой рамы, находящейся под действием заданных сил , и пары с моментом . Натяжение троса равно весу груза .

2. Освобождаем раму от связей, заменяя их реакциями. Реакции шарнирно-неподвижной опоры А раскладываем на и .

Реакции невесомого стержня, к которому рама крепиться в точке В, направлена вдоль стержня.

3. Выбираем систему координат и составляем уравнения равновесия для рамы, находящейся под действием плоской системы сил. Уравнение моментов составляем относительно точки А, где пересекаются линии действия неизвестных реакций и . При вычислении моментов сил , и реакции относительно точки А используем теорему Вариньона. Составляющими сил и являются проекции этих сил на координатные оси.

(1)

(2)

(3)

Находим из (3):

из (1):

из (2):

Действительное направление реакций и противоположно показанному на чертеже.

1.14. РАВНОВЕСИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ.

Если тело находится в равновесии на шероховатой поверхности, полная реакция такой опорной поверхности будет представлена двумя составляющими: нормальным давлением и силой трения (рис. 38). Величина предельной силы трения не зависит от размеров соприкасающихся поверхностей:

(14.1)

где - коэффициент трения скольжения, зависящий от материала и состояния соприкасающихся поверхностей. В уравнения равновесия твердого тела, находящегося на шероховатой поверхности, кроме сил заданных и реакций связей будет входить сила трения.

Пример №5.

Станок весом передвигают по деревянному настилу с углом подъема при помощи лебедки (рис.39). Определить натяжение троса, если коэффициент трения стали по дереву .

Решение:

1. Рассматриваем равновесие станка, находящегося на наклонной плоскости под действием силы тяжести , натяжением троса , составляющих реакций шероховатой поверхности и . При равномерном подъеме все эти силы должны находиться в равновесии. Величину нормального давления определим, проецируя все силы на ось Y:

откуда

2. Уравнение равновесия тела составляем в проекции на ось X:

откуда

1.15. РАВНОВЕСИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ.

При перекатывании одной криволинейной поверхности по дру­гой возникает сопротивление, называемое трением качения. Если к катку приложить силу (рис. 40), то вследствие деформа­ции поверхности в месте контакта линия действия силы нормально­го давления проходит на некотором расстоянии К от оси Максимальную величину К, соответствующую предельному положению равновесия, называют коэффициентом трения качения. Силы и образуют пару сил, стремящуюся повернуть каток. Силы и образуют пару сил с моментом, препятствующим повороту кат­ка. Момент этой пары

(15.1)

называют моментом трения качения. Трение качения возникает только при перекатывании упругих тел. Для качения абсолютно твердого катка по абсолютно твердой не деформируемой поверх­ности не потребуется никакой силы.

Если , то скольжение невозможно,

если , то проходит одновременно скольжение и качение,

если , то качение невозможно.

Пример №6.

Для равномерного передвижения по горизонтальному деревянному настилу станка (рис. 41) весом использовали 10 стальных катков диаметром и весом каждый. Определить необходимое горизонтальное движущее усилие , если коэффициент трения качения стали по чугуну , а стали по дереву .

Решение:

1. Считаем, что на каждый каток приходится одинаковая часть веса станины . Рассматриваем равновесие одного катка (рис. 41,б) под действием активных сил и реакций связей: силы тяжести , нормальных реакций и , движущей силы на один каток и силы трения скольжения со стороны пола. Составим уравнение равновесия:

(1)

(2)

где (3)

(4)

Подставим (3) и (4) в (1):

1.16. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ.

Для каждого случая нагружения твердого тела можно составить определенное число независимых уравнений. Если числа уравнений достаточно для определения неизвестных величин, система называется статически определимой, в противном случае – статически неопределимой. Если арка (рис.42) нагружена силами , то направления реакций в опорах А и В неизвестны, каждая из них будет представлена двумя составляющими. Следовательно, количество неизвестных () превышает число независимых уравнений равновесия для плоской системы сил, т.е. плоская система является статически неопределимой.

1.17. РАВНОВЕСИЕ СОСТАВНОЙ КОНСТРУКЦИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ.

Системой сочлененных тел называется несколько твердых тел, соединенных между собой посредством шарниров, стержней или нитей. Связи, соединяющие части составной конструкции, называются внутренними, в отличие от внешних связей, соединя­ющих конструкцию о опорами. Для каждого тела, входящего в составную конструкцию, находящуюся под действием плоской систе­мы сил, можно составить три уравнения равновесия. Следовательно, общее число уравнений равновесия для составной конструкции ра­вно 3n, где n - число тел, образующих систему.

Задачи на равновесие составных конструкций рекомендуется решать в следующем порядке: