И математическая статистика

18

МАТЕМАТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Практикум

Абакан

УДК 519.2

Ч-48

Рецензент

Г. С. Сулейманова, канд. физ.-мат. наук, доц. каф «Математика и естественно-научные дисциплины» ХТИ – филиала СФУ

Ч-48 Математика. Теория вероятностей и математическая статистика: практикум / сост. Н. Г. Черкунова; Сиб. федер. ун-т, ХТИ – филиал СФУ. – Абакан: РИО ХТИ – филиала СФУ, 2011. – 122 c.

Содержит основные теоретические сведения по дисциплине «Математика. Теория вероятностей и математическая статистика».

Рассмотрен ряд тем, включающих в себя различные виды заданий, контрольные вопросы и тестовые задания для самопроверки.

Предназначен для студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения.

УДК 519.2

Печатается по решению

Редакционно-издательского совета ХТИ – филиала СФУ

© ХТИ – филиал СФУ, 2011

© Черкунова Н. Г., 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение. 4

Методические рекомендации. по работе с практикумом по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика». 7

Тема 1. Сущность и условия применимости теории вероятностей. 9

Тема 2. Основные понятия теории вероятностей. 11

Тема 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 18

Тема 4. Следствия теорем сложения и умножения вероятностей. 26

Тема 5. Вероятностное пространство. 33

Тема 6. Повторение независимых испытаний. 35

Тема 7. Случайные величины и способы их описания 42

Тема 8. Модели законов распределения вероятностей. 60

Тема 9. Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин 67

Тема 10. Закон больших чисел. 72

Тема 11. Вариационные ряды и их характеристики. 76

Тема 12. Основы математической теории выборочного метода. 84

Тема 13. Основы теории корреляции и регрессии. 95

Тема 14. Проверка статистических гипотез. 112

Библиографический список. 112

Приложения. 112

ВВЕДЕНИЕ

В современном мире, в том числе и в экономике, математические методы исследования играют все большую роль. Среди различных разделов математики теория вероятностей занимает особое положение. Во-первых, она является теоретической базой статистических дисциплин, во-вторых, методы теории вероятностей и математической статистики непосредственно используются для изучения закономерностей массовых случайных явлений.

Экономические явления сложны и многообразны, между ними действуют многосторонние связи, на их изменения оказывают влияние множество факторов, по-разному действующих в разные моменты времени, и в результате, эти изменения носят случайный характер. Знание закономерностей случайных событий, которые изучает теория вероятностей, позволяет предвидеть, как эти события будут происходить.

Теория вероятностей неразрывно связана с математической статистикой, основная задача которой состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных (результатов наблюдений) для получения научных и практических выводов. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Методы теории вероятностей и математической статистики широко используются в различных областях научной, производственной, в том числе экономической деятельности общества: теории надежности, теории массового обслуживания, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, общей теории связи, в актуарных расчетах, в методах оценки финансовых рисков и т. д.

С развитием общества экономическая система все более усложняется. Следовательно, по законам развития динамических систем, должен усиливаться статистический характер законов, описывающих социально-экономические явления. Все это предопределяет необходимость овладения методами теории вероятностей и математической статистики как инструментом статистического анализа и прогнозирования экономических явлений и процессов.

Настоящий Практикум предназначен для студентов Хакасского технического института, обучающихся по направлениям подготовки 080100.62 «Экономика», 080500.62 «Менеджмент» и специальности 080502.65 «Экономика и управление на предприятии», изучающих учебную дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика» по учебнику Н. Ш. Кремера «Теория вероятностей и математическая статистика».

Цели изучения данной дисциплины состоят в том, чтобы:

– дать студентам научное представление о случайных событиях и величинах;

– развить у студентов логическое и алгоритмическое мышление;

– сформировать у будущих специалистов-экономистов теоретические знания и практические навыки по сбору, статистической обработке и анализу результатов наблюдений для выявления закономерностей в области экономических процессов и получения научных и практических выводов.

Задачи учебной дисциплины. В соответствии с целями студенты должны:

– усвоить методы количественной оценки случайных событий и величин;

– усвоить методы и приемы обработки результатов наблюдений;

– усвоить методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования;

– научиться содержательно интерпретировать формальные результаты.

Учебная дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» базируется на дифференциальном и интегральном исчислении. В свою очередь является основой для ряда учебных дисциплин, таких как «Эконометрика», «Экономико-математические методы и модели», «Финансовый анализ и планирование», «Финансовая среда предпринимательства и предпринимательские риски» и других дисциплин, как развивающих методы теории вероятностей и математической статистики, так и использующих эти методы для решения реальных экономических задач.

В результате изучения учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» студент должен:

иметь представление:

– о роли вероятностных и статистических методов при анализе экономических процессов.

знать:

– формулировки всех фундаментальных понятий, основных законов и теорем, их логическое содержание и условия применимости;

– способы сбора и группировки статистических данных, методы их анализа в зависимости от целей исследований.

уметь:

– проводить предварительный логический анализ условия задачи;

– формулировать рассматриваемые случайные события, выявлять их логическую связь с более простыми случайными событиями;

– использовать соответствующие формулы, применять теоретико-вероятностные построения при анализе конкретных ситуаций и решении практических задач.

Учебная дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» изучается на лекционных и практических занятиях и при самостоятельной работе студентов над учебным материалом. Основные виды этой работы направлены как на вооружение обучаемых определенной системой знаний, умений, навыков, так и на формирование у них умений логически мыслить, самостоятельно анализировать факты, формулировать выводы.

Итоговая оценка по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» учитывает текущую успеваемость студента в течение всего времени изучения учебной дисциплины и результаты промежуточной аттестации студента по учебной дисциплине.

При оценке текущей успеваемости студента по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» учитываются следующие показатели:

– посещение лекционных и практических занятий;

– выполнение заданий Практикума для самостоятельной работы;

– результаты текущего контроля знаний и умений студента по темам учебной дисциплины.

В соответствии с Программой учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» студент должен выполнить четыре текущих контроля, которые осуществляются в форме контрольных работ и расчетно-графических заданий.

Итоговая аттестация по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» проводится в форме экзамена.

Итоговая оценка по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» формируется путем сложения баллов за текущую успеваемость и итоговую аттестацию.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО РАБОТЕ С ПРАКТИКУМОМ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Самостоятельная работа студентов является одной из важнейших форм организации учебного процесса в вузе и основным методом получения знаний и умений по учебным дисциплинам и формирования личности будущего специалиста с высшим профессиональным образованием.

Для организации самостоятельной работы студентов по подготовке к аудиторным учебным занятиям разработан Практикум по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика». После работы с ним студенты должны приобрести необходимые знания и умения для их применения на практических занятиях, при проведении текущих контролей и итоговой аттестации по учебной дисциплине.

Для удобства работы с Практикумом его структура и содержание связаны со структурой и содержанием основного учебника.

Практикум по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» имеет следующую структуру:

– введение;

– основная часть.

Во введении указывается:

– название основного учебника по учебной дисциплине, к которому разработан Практикум;

– основные знания и умения, которыми должен овладеть студент после изучения учебной дисциплины;

– виды учебных занятий по учебной дисциплине;

– формы контроля знаний и умений студентов и способ формирования итоговой оценки по учебной дисциплине.

Основная часть Практикума составлена по темам Программы учебной дисциплины и основного учебника. Она содержит:

– различные виды заданий для самостоятельной работы студента по теме учебной дисциплины;

– тесты (контрольные задания) для самопроверки полученных знаний и умений по теме учебной дисциплины;

– задачи по теме учебной дисциплины;

– описание практического занятия с указанием его содержания и видов деятельности студентов на аудиторном практическом занятии по теме учебной дисциплины.

Практикум по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» содержит пять типов заданий:

– задания по работе с учебником;

– задания по терминологии учебной дисциплины;

– контрольные вопросы;

– тесты (контрольные задания для самопроверки);

– задачи по теме учебной дисциплины.

Задания по работе с учебником включают задания по составлению конспекта темы учебной дисциплины.

В заданиях по терминологии учебной дисциплины предлагается выписать из прочитанной темы учебника основные термины, понятия, их определения и заучить их наизусть.

Ответы на контрольные вопросы позволяют проверить правильность понимания теоретического материала учебника.

Тесты (контрольные задания) предназначены для самопроверки знаний и умений, приобретенных студентами в ходе выполнения заданий Практикума и самооценки их подготовленности по данной теме дисциплины. Они включают тестовые задания следующих типов:

– закрытые тесты;

– открытые тесты;

– тесты на упорядочение.

Все задания Практикума должны выполняться студентом в отдельной тетради по учебной дисциплине разборчивым почерком, позволяющим преподавателю проверить выполнение студентом заданий для самостоятельной работы в ходе текущего контроля и оценки его успеваемости по учебной дисциплине.

При работе с Практикумом необходимо соблюдать следующие правила:

1. Все задания необходимо выполнять в той последовательности, которая задана в Практикуме, т. к. их очередность имеет внутреннюю логику: каждое последующее задание предполагает успешное выполнение предыдущего, а задания Практикума построены по принципам: «от знаний – к умениям», «от простого – к сложному».

2. Прежде чем приступить к выполнению практических заданий по данной теме, необходимо внимательно прочитать текст учебника. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего. Особое внимание следует обратить на определения основных понятий, подробно разбирать примеры, поясняющие такие определения.

3. Письменно в тетради ответить на контрольные вопросы и тесты по данной теме.

4. Изучить методические рекомендации и разобраться в решениях типовых заданий, приведенных в Практикуме по каждой теме.

5. При решении заданий нужно обосновывать каждый этап решения, исходя из теоретических положений данной темы. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения задания.

6. Решения заданий следует излагать подробно, вычисления должны располагаться в строгом порядке.

7. Решение каждого задания должно доводиться до окончательного ответа, которого требует условие задания.

Задания, выносимые на текущий контроль и экзамен по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», составляются из аналогичных заданий, приведенных в Практикуме.

В конце Практикума находятся основные статистико-математические таблицы, необходимые для решения заданий, и список основной и дополнительной литературы.

Тема 1

СУЩНОСТЬ И УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ