Несобственный интеграл второго рода

Пусть функция интегрируема на любом конечном промежутке , а точка является особой точкой функции (например ). Тогда несобственным интегралом от функции по промежутку называют и обозначают так же, как и определённый интеграл . Если указанный предел существует, то несобственный интеграл сходится, в противном случае говорят, что несобственный интеграл расходится.

В частности, если существует первообразная функции на промежутке интегрирования , тогда = = = = = = , где подстановка в точке означает вычисление .

Пример. Вычислим . Так как при , то рассматриваемый интеграл является несобственным интегралом второго рода и, по определению, = (применим правило Лопиталя) = = =

– = .

Следовательно, рассматриваемый интеграл сходится и равен –1.

Если же особой точкой функции является точка , тогда = = . Например, = = = и этот интеграл расходится.

Если особая точка лежит внутри промежутка интегрирования , тогда, по определению, несобственный интеграл

= + .

ЛИТЕРАТУРА

1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.1, Т.2/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 2003.– 460с.

2. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: учебное пособие/Н.М.Матвеев. – СПб.: Издательство «Лань», 2003.–832с.

3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для вузов. В 2 т.Т.1. и Т.2./ Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2002.- 415 с. и 544с.

4. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник в 3-х т. / Г. М. Фихтенгольц. - 9-е изд., стер. – СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2009.–608,800, 672с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 3

Задания к контрольной работе 1 4

Методические указания к контрольной работе 1 11

Определители 13

1. Определитель второго порядка 14

2. Определитель третьего порядка 14

3. Определители более высокого порядка 15

Обратная матрица 15

Решение линейных систем с помощью обратной матрицы 18

Таблица производных основных элементарных функций 36

Производные более высокого порядка 38

Дифференциал и его свойства 40

Задания контрольной работы 2 41

Методические указания к контрольной работе 2 47

Экстремум функции двух переменных 62

Таблица неопределенных интегралов 65

Свойства определенного интеграла 69

Методы интегрирования 70

Список литературы 75