Несобственный интеграл первого рода

Пусть функция определена на промежутке и интегрируема на любом конечном промежутке , .

Определение. Несобственным интегралом от функции по промежутку называют и обозначают . Если указанный выше предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится и справедливо равенство = . Если же указанный предел не существует или равен бесконечности, тогда говорят, что несобственный интеграл расходится.

Если непрерывна на промежутке , тогда у неё существует первообразная а этом промежутке и из определения несобственного интеграла вытекает практический способ вычисления этого интеграла = = = = , где подстановка на означает что необходимо вычислить . Из сказанного выше следует, что в несобственном интеграле первого рода можно делать замену переменной и интегрировать по частям также, как и в определённом интеграле.

Пример. Вычислим . Произведём в данном интеграле замену переменной . Тогда , , а = = = (интегрируем по частям ) =

= = =

+ = . Так как = = 0.

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится и равен .

Аналогичным образом определяется несобственный интеграл от функции по промежутку , а именно .

Пример. Вычислим . Интегрируя по частям , получим = = = = Так как , . Следовательно, рассматриваемый интеграл сходится и равен –1.

Если функция определена на промежутке и интегрируема на любом конечном промежутке , тогда несобственный интеграл .

Пример. Вычислим . Выделив полный квадрат, полу-

чим , а интеграл = = = = – .