ЗАДАНИЕ 5. 0. Найдите размеры прямоугольного участка наибольшей площади, который можно огородить забором длины L.

0. Найдите размеры прямоугольного участка наибольшей площади, который можно огородить забором длины L.

1. Найдите размеры аквариума (без верхней крышки), имеющего форму прямоугольного параллелепипеда объёма V, на изготовление которого требуется наименьшее количество стекла.

2. Для изготовления цилиндрического бака (без верхней крышки) объёма V использовали материалы стоимостью C (на изготовление дна) и C (на изготовление боковой стенки) рублей за квадратный метр. Какими должны быть радиус основания и высота бака, чтобы стоимость расходованного материала была наименьшей.

3. Найдите размеры ящика (с крышкой), имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, наибольшего объёма, который можно изготовить из S м железа.

4. Найдите размеры открытой цилиндрической ванны с полукруглым поперечным сечением и площадью поверхности S м , имеющей наибольшую вместимость.

5. На сфере найдите точку, сумма квадратов расстояний которой от двух данных точек A(2,–1,1), B(–1,3,4) была бы наименьшей.

6. Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда наибольшего объёма, который можно вписать в полушар радиуса R.

7. Найдите размеры прямоугольника (стороны которого параллельны полуосям) наибольшей площади, который можно вписать в эллипс .

8. Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда наибольшего объёма, который можно вписать в прямой круговой конус высоты h и с радиусом основания r.

9. Найдите размеры прямоугольника с периметром P, который при вращении вокруг одной из своих сторон образует тело наибольшего объёма.

ЗАДАНИЕ 6. Вычислите данные неопределённые интегралы.

0. а) , б) , в) , г) ;

1. а) , б) , в) , г) ;

2. а) , б) , в) , г) ;

3. а) , б) , в) , г) ;

4. а) , б) , в) , г) ;

5. а) , б) , в) , г) ;

6. а) , б) , в) , г) ;

7. а) , б) , в) , г) ;

8. а) , б) , в) , г) ;

9. а) , б) , в) , г) .

ЗАДАНИЕ 7. Вычислите определённые интегралы.

0. а) б) ;

1. а) , б) ;

2. а) , б) ;

3. а) , б) ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ;

6. а) , б) ;

7. а) , б) ;

8. а) , б) ;

9. а) , б) .

ЗАДАНИЕ 8. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

0. а) , б) ;

1. а) , б) ;

2. а) , б) ;

3. а) , б) ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ;

6. а) , б) ;

7. а) , б) ;

8. а) , б) ;

9) а) , б) .