Кинематические характеристики движения материальной точки

В наиболее простом случае все части тела движутся одинаково. Такое движение называют поступательным. В этом случае есть смысл пренебречь формой и размерами тела и говорить о движении материальной точки. Разумеется, такое допущение не может быть принято в тех случаях, когда тело, например, поворачивается, и размеры тела сравнимы с его перемещением.

Исходной характеристикой движения является перемещение , то есть вектор, проведенный из точки 1, в которой тело находилось в момент времени t ₁, в точку 2, в которой тело оказалось в момент времени t ₂ = t ₁ + D t (рис. 2.1). Положение тела на этом рисунке задается радиусом-вектором , который при движении точки изменяется, то есть является функцией времени. Из рис. 2.1 очевидно, что вектор перемещения равен разности векторов и :

.

(2.1)

Функцией времени будет также путь s, то есть расстояние, пройденное телом по своей траектории с момента начала движения. За время D t тело совершает перемещение и проходит путь D s, равный длине дуги между точками 1 и 2 (см. рис. 2.1). Очевидно, что величина перемещения всегда меньше пройденного пути, кроме случая, когда тело движется по прямой в одну сторону:

.

(2.2)

(Например, при движении по окружности точка проходит за один оборот путь, равный длине окружности, тогда как перемещение при этом равно нулю). При уменьшении промежутка времени длина дуги (путь) и длина хорды (модуль перемещения) уменьшаются, и разница между ними становиться все меньше. В пределе, при D t ® 0, величина перемещения и путь становятся практически одинаковыми, то есть

.

(2.3)

Положение точки в пространстве можно задавать, как известно, не только радиусом-вектором, но и тремя числами – координатами точки. В случае наиболее распространенной – декартовой системы координат – координаты точки x, y, z будут равны проекциям вектора на оси координат r _x, r _y, r _z, если радиус-вектор проведен из начала координат (рис. 2.2).

Здесь представлен случай, когда точка движется в плоскости и для задания ее положения достаточно двух координат: x = rcosa; y = rsina.

Уточним теперь направление вектора перемещения. Естественно, когда точка движется по прямой, этот вектор совпадает с направлением движения, с траекторией (траекторией называют след, оставленный точкой при её движении). Если же траектория криволинейная (рис. 2.3), единый вектор указать невозможно, тогда траекторию следует разбить на элементы, столь малые, что каждый можно принять за прямую.

Быстрота движения – скорость – будет второй кинематической характеристикой движения. Она может быть определена как отношение малого перемещения к соответствующему промежутку времени:

.

(2.4)

Иначе говоря, скорость точки есть производная по времени от радиуса-вектора этой точки. Направление вектора совпадает с направлением , то есть при достаточно малом перемещении скорость направлена по касательной.

Как и всякий вектор, скорость можно представить как сумму двух других векторов (скоростей, разумеется), иначе говоря, разложить на две составляющие. Это бывает очень полезно сделать в том случае, когда движение сложное: например, тело брошено под углом к горизонту. Оно при этом поднимается вверх и одновременно движется в горизонтальном направлении (рис. 2.4). В начальный момент времени вектор полной скорости разложен на две составляющие – u _x и u _{0 y}.

Поскольку по оси x движение равномерное, то есть скорость u _x не меняется, для её обозначения достаточно одного индекса. По оси y скорость постепенно убывает, и второй индекс означает, что на чертеже представлен вектор скорости подъёма в начальный момент времени. Такое разложение скорости на составляющие можно сделать в любой точке траектории. Это будет соответствовать сложному движению: подъёму и горизонтальному движению.

Следует помнить, что достигнув максимальной высоты, тело начинает падать, то есть составляющий вектор будет направлен вниз. При построении векторов , и в любой точке траектории следует строго выполнить правило: в каждой точке траектории сначала строиться . Его длина и направление постоянны. Затем проводят касательную в требуемой точке и указывают здесь же направление (сначала только направление!) . Затем по длине катета u _x и двум направлениям – стороны u _y и диагонали u – строят параллелограмм. С помощью двух уравнений, вытекающих из построенного параллелограмма, можно найти скорость:

; .

(2.5)

В общем случае движения материальной точки скорость её не остаётся неизменной, а непрерывно меняется, причем изменения могут происходить как по величине, так и по направлению. Назовем ускорением быстроту изменения вектора скорости, то есть отношение приращения скорости к приращению времени:

.

(2.6)

Ускорение, определяемое по (2.6), называют полным. Направление его совпадает с направлением вектора – вектора приращения скорости.

В самом общем случае, когда точка движется по кривой и величина её скорости изменяется, вектор , а, значит, и вектор ускорения, направлены под произвольным углом к траектории (рис. 2.5). На рисунке разность скоростей найдена переносом вектора в начало вектора . Угол наклона к траектории меняется в зависимости от того, насколько длиннее или короче, чем .