Применение метода анализа размерностей в гидродинамике

1. Многие процессы химической технологии зависят от такого большого числа различных факторов (то есть являются очень сложными), что для них не удаётся получить полного математического описания; можно лишь в самом общем виде представить зависимость между различными переменными, влияющими на протекание процесса.

Для отыскания конкретного вида такой функциональной зависимости, то есть для нахождения релейного уравнения может быть применён метод анализа размерностей.

2. Проиллюстрируем применение общих принципов анализа размерностей к частной задаче определения в общем виде перепада давлений при движении жидкости по трубопроводу.

Допустим, что дифференциальные уравнения, описывающие процесс (уравнения Навье-Стокса) отсутствуют. Известно лишь, что при установившемся движении жидкости по прямой трубе перепад давлений зависит от:

скорости жидкости - W,

её плотности - ρ,

её вязкости - μ,

ускорения силы тяжести - g,

длины трубы - l,

её эквивалентного диаметра - d_э.

Таким образом известна только функциональная зависимость общего вида:

, (1)

в данном случае число переменных n = 7, число их основных единиц измерения (длина, время и масса) m = 3.

3. В основу метода положена π -теорема Бэкингема, согласно которой “общую функциональную зависимость (1), связывающую между собой n переменных величин при m основных единицах их измерения, можно представить в виде зависимости между (n – m) безразмерными комплексами этих величин, а при наличии подобия – в виде связи между (n – m) критериями подобия”.

Тогда согласно π -теореме число безразмерных комплексов, описывающих процесс, должно быть равно

(n – m) = 7 – 3 = 4.

4. Представим исходную функцию в степенном виде:

. (2)

Примем, что размерности всех основных величин, характеризующих процесс, выражаются через основные единицы измерения в системе СИ, а именно:

единица длины L – (м)

времени Т – (с)

массы М – (кг).

5. Выразим размерности всех величин в единицах длины, времени и массы:

В этих выражениях размерностей показатели степени при L, T и M – некоторые определённые числовые величины.

6. Учитывая, что размерности обеих частей уравнения (2) одинаковы, а x – безразмерный коэффициент, заменим в нём все величины из размерностями

,

или при подстановке конкретного выражения размерностей каждой величины

7. Раскрывая скобки в правой части и группируя однородные члены, находим

.

8. Приравняв показатели степеней при одинаковых основных единицах в обеих частях уравнения, получим систему

1 = z + u

-1 = y - 3z - u + r +s +t

-2 = - y - u -2r

В данной системе из трёх уравнений имеется шесть неизвестных, поэтому любые три из этих переменных можно выразить через три других. Выразим, например, y, z и t через u, r, и s

y = 2 – 2 r – u (из 3 уравнения)

z = 1 – u (из 1 уравнения)

и подставим во 2 уравнение системы, решая его относительно t

t = -1 - y + 3 z + u - r - s или после подстановки

t = -1 - (2 - 2 r – u) + 3(1- u) + u - r - s =

= -1 - 2 +2 r + u + 3 - 3 u + u - r – s = r - s - u

t = r - s - u

9. Подставим значения показателей степеней y, z и t в искомую степенную функцию (2)

,

или .

10. Сгруппировав теперь отдельные величины, находим обобщённую зависимость для определения перепада давлений:

, (3)

или .

11. Таким образом искомая функция представлена в соответствии с π -теоремой, в виде соотношения между четырьмя безразмерными комплексами величин, в данном случае – критериями Eu, Re, Fr, Г. Числовые значения коэффициента x и показателей степеней u, r и s должны быть найдены опытным путём. В конечном итоге получают расчётное уравнение для определения . Найденная обобщённая зависимость (3), идентична уравнению (3) стр. 11, если учесть, что при установившемся движении жидкости критерий гомохронности (Но) из него надо исключить.

12. Для пользования методом анализа размерностей необходимо заранее знать, какие переменные должны входить в зависимость общего вида (1) стр. 11. Если при составлении такой исходной зависимости не учесть тех или иных параметров, которые существенно влияют на процесс, то это может привести к серьёзным ошибкам при получении конечного расчётного уравнения, что является недостатком метода анализа размерностей.

При отсутствии надёжных исходных данных, вытекающих из физической сущности процесса, в случае применения данного метода для их выяснения нередко приходится использовать инженерную интуицию.

13. Таким образом, при правильном выборе величин, входящих в исходную функцию, метод анализа размерностей позволяет (не имея полного математического описания процесса) получить ту же конечную обобщённую зависимость, которая может быть выведена подобным преобразованием дифференциальных уравнений Навье-Стокса.