Гидродинамическое подобие

1. Современная теория моделирования гидравлических процессов и машин основана на теории гидравлического подобия.

В большинстве явлений природы, в том числе и гидравлических, действуют силы нескольких и притом различных категорий. Для установления критериев подобия необходимо рассмотреть дифференциальные уравнения движения, описывающие изучаемые явления.

2. Рассмотрим уравнение Навье-Стокса, описывающее движение вязкой жидкости капельной жидкости. Как нами уже отмечено ранее, дифференциальные уравнения Навье-Стокса невозможно решить для большинства практически важных случаев. Теория подобия позволяет преобразовать уравнения Навье-Стокса м получить из них некоторую общую функциональную зависимость между критериями подобия, характеризующими силы, действующие при движении вязкой жидкости.

3. Перепишем уравнение Навье-Стокса для капельной жидкости в развёрнутом виде для одной из осей - вертикальной оси z

,

развернём это уравнение

4. Для подобного преобразования этого уравнения воспользуемся правилом: критерии подобия можно получить путём деления левой части дифференциального уравнения на правую (или наоборот) и последующего отбрасывания знаков математических операторов.

5. Если движение жидкости установившееся, то её скорость не зависит от времени, то есть член .

а) При этом, заменяя в левой части уравнения, характеризующей силу инерции, дифференциалы конечными величинами, находим

~ .

б) В правой части уравнения член, отражающий действие силы тяжести, равен ρ^.g.

в) Член , характеризующий действие силы давления, можно заменить отношением , то есть ~ .

г) Наконец, последнее слагаемое правой части равенства, отражающее действие силы трения

~ .

6. Разделим члены правой части уравнения на член левой части и найдём таким образом выражения, характеризующие соотношения между соответствующими силами и силой инерции, или иначе говоря, выразим эти силы в относительных единицах, приняв за масштаб силу инерции.

В результате получим безразмерные соотношения величин – критерии подобия.

а) Критерий Фруда

характеризует отношение силы тяжести к инерционной силе

Чтобы избежать чисел, меньших единицы, предпочитают пользоваться обратным выражением

.

Критерий Фруда отражает влияние сил тяжести, или собственного веса на движение жидкости. Он является отношением силы инерции к силе тяжести в подобных потоках

б) Критерий Эйлера

соотношение между силами давления и инерции

Обычно этому критерию придают несколько иной вид, вводя вместо абсолютного давления p разность давлений между какими-либо двумя точками жидкости

.

Критерий Эйлера отражает влияние перепада гидростатического давления на движение жидкости.

Его величина характеризует отношение изменения силы гидростатического давления к силе инерции в подобных потоках.

в) Критерий Рейнольдса

является мерой отношения силы трения к силе инерции

Или, опять-таки, чтобы избежать чисел, меньших единицы, напишем обратное отношение

.

Критерий Рейнольдса отражает влияние силы трения на движение жидкости. Его величина характеризует отношение сил инерции к силам трения в подобных потоках

Величина l в критериях Fr, Eu, и Re может быть заменена на d (при движении жидкости по трубам).

г) Критерий гомохронности.

При неустановившемся движении жидкости в уравнении Навье-Стокса

.

Заменив член, отражающий влияние нестационарности движения

~ ,

охарактеризуем соотношение между этой величиной и силой инерции

или обратная величина .

Критерий гомохронности учитывает неустановившийся характер движения в подобных потоках.

7. Согласно второй теореме подобия, решение уравнений Навье-Стокса можно теперь представить в виде функциональной зависимости между полученными критериями, то есть

.

В ряде случаев эта зависимость должна быть дополнена симплексами геометрического подобия. При движении жидкости через трубки таким симплексом является отношение

или .

Тогда критериальное уравнение принимает вид

.

8. При наиболее важной для практики формулировке задачи (определение расходов энергии – перепада давления, - связанных с проталкиванием жидкости через канал) все входящие в уравнение критерии, кроме критерия Eu, служат определяющими, так как они составлены исключительно из величин, выражающих условия однозначности.

В критерий же Эйлера входит величина перепада давления , которая зависит от , физических свойств жидкости и распределения скоростей у входа в трубу и у её стенок (начальные и граничные условия). Поэтому согласно третьей теореме подобия, для подобия необходимо и достаточно соблюдение равенства значений Ho, Fr, Re и . Следствием выполнения этих условий будет также равенство значений определяемого критерия Eu в сходственных точках подобных потоков. Поэтому последнее уравнение можно представить как

. (1)

Это обобщённое критериальное уравнение гидродинамики.

9. Функцию (1) наиболее часто аппроксимируют степенной зависимостью, то есть

(2)

или после подстановки соответствующих безразмерных комплексов величин

. (3)

Путём обработки опытных данных, полученных на моделях, находят числовые величины коэффициента A и показателей степеней m, n, p, q при соответствующих критериях.

При обработке и обобщении опытных данных с помощью степенных зависимостей типа уравнения (2) результаты экспериментов обычно представляют графически в логарифмических координатах. Например:

Это позволяет получать прямые, тангенсы угла наклона (α) которых численно равны значениям показателей степеней, а отрезки, отсекаемые от оси ординат (а) – коэффициентам А.

Из уравнения (3) обычно определяют величину , входящую в критерий Eu. В частности, при движении жидкости через трубопроводы и аппараты так находится потеря давления (напора).

10. Если движение является установившимся, то критерий гомохронности может быть исключён из уравнения (2).

Следовательно, для установившегося движения обобщённое уравнение гидродинамики имеет вид

(4)

или в более общей форме

,

где - симплексы геометрического подобия.