Уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной жидкости

Уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной жидкости

Решение уравнений движения Эйлера для установившегося потока

приводит к одному из наиболее важных и широко используемых уравнений гидродинамики – уравнению Бернулли.

1. Умножив левые и правые части каждого из уравнений соответственно на dx, dy, и dz и разделив на ρ жидкости, получим

2. Сложим эти уравнения, учитывая, что производные и выражают проекции W_x, W_y, W_z скорости на соответствующие оси координат.

Тогда

3. Слагаемые левой части этого уравнения могут быть представлены как

и, следовательно, их сумма

,

где W – величина вектора скорости, составляющие которой вдоль соответствующих осей равны W_x, W_y, W_z.

4. В то же время сумма членов, стоящих в скобках в правой части записанного уравнения представляет собой полный дифференциал давления dp (при установившихся условиях давление зависит только от положения точки в пространстве, но в каждой данной точке не меняется со временем).

Значит

.

Разделив обе части на g (ускорение силы тяжести) и перенося все его члены в левую часть, находим

,

причём для несжимаемой однородной жидкости ρ = const.

5. Сумма дифференциалов может быть заменена дифференциалом суммы, следовательно

, откуда

,

или последнее уравнение можно представить в виде

-

уравнение Бернулли для идеальной жидкости.

6. Величина - полный гидродинамический напор.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли “для всех поперечных сечений установившегося потока идеальной жидкости величина гидродинамического напора остаётся неизменной”.

Гидродинамический напор включает три слагаемых, их которых первые два слагаемые входили в основное уравнение гидростатики (рассматривали ранее).

z - нивелирная высота, называемая также геометрическим напором h_г, представляет собой идеальную потенциальную энергию положения в данной точке (данном сечении);

- статический, или пьезометрический, напор (h_ст), характеризует удельную потенциальную энергию давления в данной точке (данном сечении);

- скоростной, или динамический, напор (h_ск), характеризует удельную кинетическую энергию в данной точке (данном сечении).

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, “при установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной и кинетической энергии для каждого из поперечных сечений потока есть величина постоянная”.

7. Уравнение Бернулли является частным случаем закона сохранения энергии и выражает энергетический баланс потока, а именно: при сужении трубы часть потенциальной энергии давления переходит в кинетическую, и наоборот, но общее количество энергии остаётся постоянным.

Отсюда следует, что для идеальной жидкости количество энергии, поступающей с потоком через начальное сечение трубопровода, равно количеству энергии, удаляющейся с потоком через конечное сечение трубопровода.

8. В случае горизонтально расположенного трубопровода z₁ = z₂ и уравнение Бернулли для идеальной жидкости

.

Проиллюстрируем применение уравнения Бернулли на примере потока идеальной жидкости, движущейся через произвольно расположенный в пространстве трубопровод переменного сечения.

1. В прямых вертикальных трубках (с незагнутыми нижними концами) жидкость поднимается на высоту, отвечающую гидростатическому давлению в точках их погружения, то есть эти трубки будут измерять статические напоры в соответствующих точках.

2. В трубках с нижними концами, направленными навстречу потоку, уровень жидкости будет выше, чем в соседних вертикальных трубках, так как трубки с загнутыми концами будут показывать сумму статического и динамического напоров.

Однако, согласно уравнению во всех трубках с загнутыми нижними концами жидкость поднимается на одну и ту же высоту относительно плоскости сравнения, равную гидродинамическому напору H.

3. Площадь поперечного сечения 2-2 < 1-1, поэтому скорость жидкости W₂ > W₁, согласно уравнению непрерывности потока.

Соответственно .

4. В любом сечении трубопровода скоростной напор можно измерить по разности показаний установленных здесь трубок.

5. Вместе с тем из уравнения Бернулли следует, что высота уровня жидкости в прямой трубке в сечении 2-2 должна быть меньше соответствующей высоты в прямой трубке сечения 1-1 на ту же величину, на какую скоростной напор в сечении 2-2 больше, чем в сечении 1-1 (взаимный переход потенциальной энергии в кинетическую наглядно видно из рисунка при изменении площади сечения трубы, а также постоянство суммы этих энергий в любом поперечном сечении трубопровода, что указывает о постоянстве H).

Уравнение Бернулли для реальных жидкостей

1. При движении реальных жидкостей начинают действовать силы внутреннего трения, обусловленные вязкостью жидкости и режимом её движения, а также силы трения о стенку трубки. Эти силы оказывают сопротивление движению жидкости. На преодоление возникшего гидравлического сопротивления должна расходоваться некоторая часть энергии потока. Поэтому общее количество энергии потока по длине трубопровода будет непрерывно уменьшается вследствие перехода потенциальной энергии в потерянную энергию, затрачиваемую на трение и безвозвратно теряемую при рассеивании тепла в окружающую среду.

При этом

.

2. Для соблюдения баланса энергии при движении реальной жидкости в правую часть уравнения должен быть введён член, выражающий потерянный напор.

Тогда получим уравнение Бернулли для реальных жидкостей.

.

3. Потерянный напор h_П характеризует удельную (отнесённую к единице веса жидкости) энергию, расходуемую на преодоление гидравлического сопротивления при движении реальной жидкости.

4. Определение потерь напора или давления является практически важной задачей, связанной с расчётом энергии, которая необходима для перемещения реальных жидкостей при помощи насосов, компрессоров и т.д.

Трудность решения этой задачи обусловлена тем, что решение системы дифференциальных уравнений, описывающих движение реальных жидкостей, в большинстве случаев оказывается невозможным.