Основы теории подобия

1. Пути исследования процессов.

Изучение процессов с целью получения уравнений, необходимых для их анализа и расчёта можно проводить по-разному:

I. Теоретическое исследование. Это наиболее желательный путь исследования, сводится к составлению (на основе самых общих законов физики и химии) и решению математических зависимостей, чаще всего дифференциальных уравнений, полностью описывающих процесс.

Примером важных для практики расчётных зависимостей, полученных решением соответствующих дифференциальных уравнений, является рассмотренное выше основное уравнение гидростатики и уравнение Бернулли.

Дифференциальные уравнения описывают целый класс однородных по своей сущности явлений, и для выделения из него конкретного явления необходимо ограничить указанные уравнения дополнительными условиями (условиями однозначности).

Условия однозначности

Они включают в себя:

1. Геометрическую форму и размеры аппарата, в котором протекает процесс.

2. Физические константы (существенные) участвующих в процессе веществ.

3. Начальные условия (начальные W, t, концентрация и др.)

4. Граничные условия, характеризующие состояния на границах системы (например, равенство нулю скорости жидкости у стенок трубы и т.д.)

Таким образом, дифференциальные уравнения должны решаться в совокупности с условиями однозначности в устанавливаемых последними пределах.

Однако многие процессы, особенно процессы химической технологии характеризуются большим числом переменных и настолько сложны, что не могут быть решены известными в математике методами (например, уравнения Навье-Стокса, решение которых невозможно для важного практического случая, а именно для осуществления гидравлического сопротивления при турбулентном режиме).

Более того, для очень сложных процессов даже нельзя составить систему дифференциальных уравнений, описывающих полно данный процесс. Таким образом, теоретический вывод расчётных зависимостей, необходимых для проектирования, часто оказывается недостаточным или невозможным.

II. Экспериментальное исследование. Для нахождения связи между величинами, характеризующими процесс, прибегают к произведению опытов. На основе опытных данных получают эмпирические уравнения, которые являются частными и не могут быть распространены на условия, отличные от тех, для которых они получены. Эти частные эмпирические уравнения имеют известную ценность и используются в инженерной практике.

Однако, наиболее плодотворно такое осуществление экспериментов, которое позволяет обобщать результаты опытов и распространять их на широкий круг явлений, подобных изученному, но отличающихся численными значениями характерных параметров (например, размерами аппарата, величинами основных физических свойств среды и т.д.)

Это достигается при использовании для обработки опытных данных методом теории подобия.

2. Сущность теории подобия.

Теория подобия является учением о методах научного обобщения эксперимента.

Теория подобия указывает:

I. Как надо ставить опыты.

II.Как обрабатывать результаты опытов, чтобы при проведении небольшого числа экспериментов иметь возможность отобрать опытные данные.

Теория подобия позволяет:

I. Вместо трудоёмких опытов на промышленной установке выполнять исследование на моделях значительно меньшего размера. (Бэкеланд: “Проведение опытов на моделях позволяет делать ошибки в малом масштабе, а выгоды получать в большом”).

II. Опыты можно проводить не с рабочими веществами (часто вредными и опасными) и не в жестких условиях (высокая t, сильно агрессивные среды) реального производства, а с другими (модельными) веществами в условиях, отличающихся от промышленных.

III. Позволяет получать в итоге единые (обобщённые) уравнения для всех подобных явлений.

Таким образом, под моделированием понимают метод исследования, при котором вместо интересующего нас процесса или явления, протекающего в каком-то объекте (натуре), изучается соответствующий процесс на другом объекте (модели).

Разновидностью моделирования является математическое моделирование, при котором различные процессы воспроизводятся на электрических моделях – электронно-вычислительных машинах (ЭВМ).

Особенности теории подобия:

I. Надо иметь ввиду, что теория подобия не может дать больше того, что содержится в исходных уравнениях, описывающих исследуемый процесс.

II. Она лишь позволяет посредством обобщения результатов опытов найти интегральные решения этих уравнений, действительные для группы подобных явлений в исследованных пределах. Если исходные уравнения неверно описывают физическую сущность процесса, то и конечные результаты, полученные при использовании методов теории подобия, будут неправильными.

Значение теории подобия:

I. Позволяет быстро и экономично исследовать процессы и с достаточной степенью надёжности переходить от лабораторных масштабов к производственным, сохраняя при этом интенсивность и другие оптимальные показатели данного процесса.

II. За последние годы серьёзные успехи в изучении различных процессов, в том числе и таких сложных, как химические процессы в промышленной аппаратуре, достигнуты благодаря использованию математического моделирования. Это направление исследований продолжает успешно развиваться.

III. Советским учёным принадлежит ведущая роль в развитии теории и техники гидравлического моделирования, в развитии теории подобия – основы гидравлического моделирования. Здесь можно отметить работы В.Л. Кириичева, Н.Н. Павловского, М.З. Абрамова, Л.Г. Лойцянского, С.Т. Алтунина и др. Большая заслуга в деле развития экспериментально-теоретических исследований на основе моделирования принадлежит Всесоюзному научно-исследовательскому институту гидротехники (ВНИИГ) и ряду других институтов.

3. Виды подобия.

Подобными называются явления, для которых отношения характеризующих их сходственных величин постоянны.

Рассмотрим примеры подобного движения вязкой жидкости в натуре (в производственном трубопроводе) и в её уменьшенной модели.

и

и сходственные точки.

и

Различают следующие виды подобия:

I. Геометрическое подобие соблюдается при равенстве отношений всех сходственных линейных размеров натуры и модели

,

где и и т.д. – пути, проходимые сходственными частицами жидкости от входа до произвольной точки, сходственной для натуры и модели; K_l – константа геометрического подобия.

II. Кинематическое подобие. При подобном движении сходственных частиц их траектории в натуре и в моделях должны быть подобны.

III. Временное подобие, характеризуется тем, что сходственные частицы в геометрически подобных системах, двигаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подобные пути, за промежутки времени, отношения которых является величиной постоянной.

,

где Т^` и Т^`` - время прохождения сходственными частицами всего трубопровода; К_τ – константа временного подобия.

IV. Подобие скоростей – при соблюдении геометрического и временного подобия соблюдается также подобие скоростей

.

V. Подобие физических величин предполагает, что для двух любых сходственных точек натуры и модели, размещённых подобно в пространстве и времени (то есть при соблюдении геометрического и временного подобия), отношения физических свойств являются величинами постоянными

.

Соотношение плотностей (постоянство) получило ещё название динамического подобия.

и т.д.

VI. Подобие начальных и граничных условий предполагает, что отношение основных параметров в начале и на границе натуры и модели являются соответственно величинами постоянными. Иными словами, для начальных и граничных условий должно соблюдаться геометрическое временное и физическое подобие, как и для других сходственных точек натуры и модели.

4. Инварианты подобия.

Подобие потоков в натуре и в модели можно охарактеризовать с помощью инвариантов подобия – можно выразить все подобные величины в относительных единицах, то есть в виде отношений сходственных величин в пределах каждой системы. Так, например

,

причём inv или idem означает инвариант или “одно и то же”.

i_l – инвариант подобия геометрических величин.

Аналогично можно получить и другие инварианты, например,

и т.д.

5. Критерии подобия.

I. Инварианты подобия, выраженные отношением двух однородных величин (параметров) называются параметрическим критерием или симплексом.

II. Инварианты подобия, выраженные отношением разнородных физических величин (нескольких) называются комплексами этих величин, они безразмерно

.

III. Если инварианты подобия выражаются комплексами величин, полученными преобразованием дифференциальных уравнений, описывающих процесс, то их называют критериями подобия.

Критерий подобия всегда имеет физический смысл, являясь мерой соотношения между какими-то двумя эффектами (силами и т.п.) существенными для рассматриваемого процесса.

В силу безразмерности численные значения критериев подобия, как и констант и инвариантов подобия, не зависят от применяемой системы единиц. Критерии подобия могут быть получены для любого процесса, если известны дифференциальные уравнения, описывающие процесс.

6. Теоремы подобия.

Основные положения теории подобия обобщаются теоремами подобия. Эти теоремы лежат в основе практического применения теории подобия.

I. Первая теорема подобия (Ньютона):”Подобные явления характеризуются численно равными критериями подобия”.

Эта теорема подобия указывает, какие величины следует измерять при проведении опытов, которые входят в критерии подобия.

II. Вторая теорема подобия (Бэкингема, Федермана и Афанасьевой-Эренфест).

“Решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде зависимости между безразмерными компонентами этих величин, то есть между критериями подобия”.

Если обозначать критерии подобия через П₁, П₂, П₃, … П_n, то решение дифференциального уравнения может быть представлено в общем виде:

. (1)

Такие уравнения называются критериальными уравнениями.

Критерии подобия, которые составлены только из величин, входящих в условия однозначности, называются о пределяющими.

Критерии, включающие величины, которые не являются необходимыми для однозначной характеристики данного процесса, а сами зависят от этих условий, называются определяемыми.

Какой из критериев является определяемым, зависит от формулировки задачи. Например, в случае движения жидкости по трубам, если заданы:

I. Форма трубы (то есть отношение ).

II. Физические свойства жидкости (вязкость, плотность).

III. Распределение скоростей у входа в трубу и у её стенок (то есть начальные и граничные условия),

то совокупность этих условий однозначно определяет скорость в любой точке трубы и перепад давления (напоры) между любыми двумя её точками).

При такой формулировке задачи, когда находится перепад давлений, критерий гидродинамического подобия, в который кроме условий однозначности входит величина , зависящая от них, будет определяемым.

Из критериального уравнения, представляющего собой функциональную зависимость между критериями подобия, рассчитав предварительно величины определяющих критериев, находят величину определяемого критерия, а из него - численное значение интересующей нас величины.

Таким образом, если определяемым является некоторый критерий (П₁), то уравнение (1) стр. 7. удобнее представлять в виде

. (2)

Вторая теорема подобия отвечает на вопрос, как обрабатывать результаты опытов, проведённых на моделях: их надо представлять в виде функциональной зависимости между критериями подобия.

III. Третья теорема подобия (Кирпичёва и Гухмана) формулирует необходимые и достаточные условия подобия явлений. “Подобны те явления, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений, и у которых соблюдается подобие условий однозначности”.

Подобию условий однозначности при идентичности дифференциальных уравнений, описывающих процессы, отвечает равенство определяющих критериев подобия. Значит, третья теорема подобия может быть сформулирована и так: явления подобны если их определяющие критерии численно равны.

Следствием равенства определяющих критериев согласно уравнению (2) стр. 7 является равенство определяемых критериев для модели и натуры. Поэтому зависимость типа уравнения (2), полученная обобщением результатов опытов на модельной установке, будет справедлива (в тех же пределах изменения определяющих критериев) для всех подобных процессов, в том числе для натуры.

7. Этапы исследования процессов методом теории подобия.

Исследование процессов методом теории подобия должны состоять из следующих этапов:

I. Получив полное математическое описание процесса, то есть, составив дифференциальное уравнение и установив условия однозначности, проводят подобное преобразование этого уравнения и находят критерии подобия.

II. Опытным путём на моделях устанавливают конкретный вид зависимости между критериями подобия, причём полученное обобщенное расчётное уравнение справедливо для всех подобных явлений в исследованных пределах изменения определяющих критериев подобия.

8. Метод математического моделирования.

Большое практическое значение имеет применение электрических моделей, что связано со значительно большей скоростью распространения электрического тока или вещества. Это позволяет значительно ускорить проведение опытов на моделях. Кроме того, в ряде случаев оказывается практически невозможным подобрать для модели среду с требуемыми свойствами. И в этих условиях весьма плодотворно использование электрической модели.

Примером этому служит случай электрогидравлического моделирования. При физическом моделировании процесса фильтрации жидкости сквозь грунт на модели плотины было бы весьма трудно или невозможно менять в нужных пределах пористость фильтрующей среды; в электролитической же ванне изменение в широких пределах электропроводности раствора, являющейся аналогом пористости среды не представляет никаких практических затруднений.

Наиболее перспективным методом применения аналогии между физически разнородными пространствами является метод математического моделирования, связанный с использованием ЭВМ. Математические машины можно эффективно применять в тех случаях, когда необходимые для ввода расчётных зависимостей решения дифференциального уравнения осуществить другими способами очень сложно или практически невозможно. На машинах такие решения получают либо в виде непрерывных зависимостей (аналоговые машины), либо в цифровом виде (дискретные, или цифровые машины).

Принцип работы современных аналоговых машин основан на использовании аналогий между электрическими явлениями и математическими действиями. Таким образом, применение принципа аналогии превращает в данном случае модель в счётно-решающее устройство. Это в значительной степени устраняет различие между теоретическим исследованием (решение дифференциальных уравнений) и экспериментальным исследованием (установка опытов на моделях и последующее обобщение их результатов).

Математическое моделирование всё более широко используется для исследования и проектирования различных процессов химической технологии. Анализ и моделирование таких сложных процессов, как ректификация, абсорбция, экстракция (без разделения многокомпонентных смесей) практически невозможно без применения электронно-вычислительной техники.

При изучении таких процессов наиболее плодотворные результаты могут быть получены при правильном сочетании методов физического и математического моделирования.