Информация. Двоичное кодирование информации 89

Я

В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее ал­фавите) и определяет, во сколько раз различают­ся значения одинаковых цифр, стоящих в сосед­них позициях числа.

Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, кото­рый состоит из десяти всем известных, так называемых араб­ских, цифр, и основание, равное 10, двоичная — две цифры и основание 2, восьмеричная — восемь цифр и основание 8, шестнадцатеричная — шестнадцать цифр (в качестве цифр используются и буквы латинского алфавита) и основание 16 (табл. 2.2).

Таблица 2.2. Позиционные системы счисления

Система счисления	Основание	Алфавит цифр
Десятичная		0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9
Двоичная		0, 1
Восьмеричная		0, 1,2,3,4,5,6,7
Шестнадцатеричная		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А (10), В (11), C(12),D(13),E(14),F(15)

Десятичная система счисления. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается триж­ды, причем самая правая цифра 5 обозначает пять единиц, вторая справа — пять десятков и, наконец, третья справа — пять сотен.

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, — коли­чество десятков, еще левее — сотен, затем тысяч и так да­лее. Соответственно имеем разряд единиц, разряд десятков и так далее.

Число 555 записано в привычной для нас свернутой фор­ме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различ­ные степени числа 10.

В развернутой форме записи числа такое умножение за­писывается в явной форме. Так, в развернутой форме запись

Глава 2

числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следую­щим образом:

555₁₀ = 5-Ю² + 5-Ю¹ + 5-10°.

Как видно из примера, число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степе­ней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициен­тов которых выступают цифры данного числа.

Для записи десятичных дробей используются отрицатель­ные значения степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме записывается следующим образом:

555,55₁₀ = 5-Ю² + 5-Ю¹ + 5-10°+ 5-Ю^-1 + 5-Ю"². В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А_1п, которое содержит п целых разрядов числа и т дробных разрядов числа, выглядит так:

Ла =====^========^

1/1 A₁₀ = a_n_v10ⁿ^ +... + ао-Ю°+а-г1СГ¹ +...+ a._m-10"^m.

&? =

Коэффициенты a_t в этой записи являются цифрами деся­тичного числа, которое в свернутой форме записывается так:

Аю = а_п-! а_п-₂... а₀, а-1...а__т.

Из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) при­водит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево. Например:

555,55₁₀ • 10 = 5555,5₁₀; 555,55₁₀: 10 = 55,555₁₀.

Двоичная система счисления. В двоичной системе счисле­ния основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Например, развернутая запись двоичного числа может выглядеть так:

А, - 1-2" + 0-2' * 1-2"+ 0-2 ' *- 1 2.