Практические задачи

Задача 1.

Администрация банка изучает динамику депозитов физических лиц за ряд лет (млн. долл. в сопоставимых ценах). Исходные данные представлены ниже:

Время, лет 1 2 3 4 5 6 7

Депозиты физических лиц, 2 6 7 3 10 12 13

Известно также следующее:

Задание

1. Постройте уравнение линейного тренда и дайте интерпретацию его параметров.

2. Определите коэффициент детерминации.

3. Администрация банка предполагает, что среднегодовой абсолютный прирост депозитов физических лиц составит не менее 2,5 млн. долл. Подтверждается ли это предположение результатами, которые вы получили?

Задача 2.

Изучается динамика потребления мяса в регионе. Для этого были собраны данные об объемах среднедушевого потребления мяса Y_t (кг) за 7 месяцев. Предварительная обработка данных путем логарифмирования привела к получению следующих результатов:

Месяц 1 2 3 4 5 6 7

ln Y_t 2,1 2,11 2,13 2,17 2,22 2,28 2,31

Задание

1. Постройте уравнение экспоненциального тренда.

2. Дайте интерпретацию его параметров.

Задача 3.

Имеются данные об урожайности зерновых в хозяйствах области:

Год 1 2 3 4 5 6 7 8

Урожайность

зерновых, ц/га 10,2 10,7 11,7 13,1 14,9 17,2 20,0 23,2

Задание

1. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.

2. Рассчитайте параметры уравнения тренда.

3. Дайте прогноз урожайности зерновых на следующий год.

Задача 4.

Имеются следующие данные об уровне безработицы Y_t (%) за 8 месяцев:

Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8

Y_t 8,8 8,6 8,4 8,1 7,9 7,6 7,4 7,0

Задание

1. Определите коэффициенты автокорреляции первого и второго порядка.

2. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда и рассчитайте его параметры.

3. Интерпретируйте полученные результаты

Задача 5.

Для прогнозирования объема продаж компании АВС (млн. руб.) на основе поквартальных данных за 1993 – 1994 гг. была построена модель временного ряда объема продаж. Уравнение, моделирующее динамику трендовой компоненты этой модели, имеет вид: Т = 100 + 2*t. Показатели за 1996 г., полученные в ходе построения аддитивной модели, представлены в табл. 3.7.

Таблица 3.7 – Показатели аддитивной модели

Время года	Фактический объем продаж в 1996 г.	Компонента, полученная по аддитивной модели
трендовая	сезонная	случайная
Зима				+4
Весна				+5
Лето
Осень

Задание

Определите недостающие в таблице данные, учитывая, что объем продаж компании АВС за 1996 год в целом составил 490 млн. руб.

Задача 6.

На основе помесячных данных о потреблении электроэнергии в регионе (млн. кВт *час) за последние 3 года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы даны в табл. 3.8.

Таблица 3.8 – Скорректированные значения сезонной компоненты

Январь	+25	Май	-32	Сентябрь	+2
Февраль	+10	Июнь	-38	Октябрь	+15
Март	+6	Июль	-25	Ноябрь	+27
Апрель	-4	Август	-18	Декабрь	?

Уравнение тренда выглядит следующим образом:

Т = 300+1,5 * t.

Задание

1. Определите значение сезонной компоненты за декабрь.

2. На основе построенной модели дайте точечный прогноз ожидаемого потребления электроэнергии в течение первого квартала следующего года.

Задача 7.

На основе поквартальных данных об уровне безработицы в летнем курортном городе (% от экономически активного населения) за последние 5 лет построена мультипликативная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за каждый квартал приводятся ниже:

I квартал ……..1,4 III квартал …….0,7

II квартал ……..0,8 IY квартал …….?

Уравнение тренда выглядит следующим образом:

Т = 9,2 – 0,3t.

Задание

1. Определите значение сезонной компоненты за IY квартал.

2. На основе построенной модели дайте точечные прогнозы уровня безработицы на I и II квартал следующего года.

Задача 8.

Изучается зависимость объема продаж бензина (Y_t) от динамики потребительских цен (Х_t). Полученные за последние 6 кварталов данные представлены в табл. 3.9.

Таблица 3.9 – Объем продаж бензина

Показатель	1 кв.	2 кв.	3 кв.	4 кв.	5 кв.	6 кв.
Индекс потребительских цен, % к кварталу 1
Средний за день объем продаж бензина в течение квартала, тыс. л

Известно также, что

Задание

1. Постройте модель зависимости объема продаж бензина от индекса потребительских цен с включением фактора времени.

2. Дайте интерпретацию параметров полученной вами модели.

Задача 9.

Годовое потребление товара А и доходы населения (тыс. руб.) за 1989 – 1997 гг. приведены в табл. 3.10.

Таблица 3.10 – Годовое потребление товара

Показатель
Потребление
Доходы

Задание

1. Определите уравнение регрессии, включив в него фактор времени, если известно,

что

2. Интерпретируйте полученные результаты.

Задача 10.

Имеются данные за 10 лет о производительности труда и электровооруженности труда на одном из предприятий промышленности области (табл. 3.11).

Таблица 3.11 – производительность и электровооруженность труда

Показатель
Среднегодовая выработка на продукции на 1 рабочего, усл. ед., Уt	28,7	31,7	31,7	32,6	33,9	31,2	33,3	42,6	46,0	49,9
Электровооруженность, кВт*ч/чел.*ч, Хt	3,33	3,39	3,5	3,63	3,81	3,84	3,88	4,07	4,12	4,17

Задание

1. Определите коэффициент корреляции между временными рядами, сделайте вывод.

2. Рассчитайте коэффициент автокорреляции первого и второго порядков внутри каждого временного ряда.

3. Сделайте выводы о структуре временных рядов.

Задача 11.

Администрация торговой фирмы интересуется, есть ли взаимосвязь между объемом продаж и удельным весом женщин среди работников компании, для этого были собраны данные за последние девять лет (табл. 3.11).

Таблица 3.11 – Объем продаж

Показатель
Объем продаж, тыс. долл., Уt
Удельный вес женщин среди работников компании, %, Хt

Известны также следующие данные:

Задание

1. Определите коэффициент корреляции между изучаемыми рядами по их уровням, охарактеризуйте тесноту связи между временными рядами объемов продаж и долей женщин среди работников компании.

2. Постройте уравнение тренда для ряда Х_t в виде линейной регрессии, для ряда У_t в виде параболы второго порядка.

3. Постройте уравнение регрессии, описывающее зависимость объема продаж от удельного веса женщин среди работников компании.

Задача 12.

На основе помесячных данных о числе браков (тыс.) в регионе за последние 3 года была построена аддитивная модель временного ряда. скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приводятся в табл. 3.12.

Таблица 3.12 – Скорректированные значения сезонной компоненты

Месяц	Скорректированные значения сезонной компоненты	Месяц	Скорректированные значения сезонной компоненты
Январь	-1,0	Июль	3,0
Февраль	2,0	Август	1,0
Март	-0,5	Сентябрь	2,5
Апрель	0,3	Октябрь	1,0
Май	-2,0	Ноябрь	-3,0
Июнь	-1,1	Декабрь	?

Уравнение тренда выглядит следующим образом:

Т = 2,5 + 0,03 * t.

Задание

1. Определите значение сезонной компоненты за декабрь.

2. На основе построенной модели дать прогноз общего числа браков, заключенных в течение первого квартала следующего года.

Задача 13.

Имеются поквартальные данные по розничному товарообороту России в 1995 – 1999 гг. (табл. 3.13).

Таблица 3.13 – Розничный товарооборот России

Номер квартала	Товарооборот, % к предыдущему периоду	Номер квартала	Товарооборот, % к предыдущему периоду
	100,0		98,8
	93,9		101,9
	96,5		113,1
	101,8		98,4
	107,8		97,3
	96,3		102,1
	95,7		97,6
	98,2		83,7
	104,0		84,3
	99,0		88,4

Задание

1. C использованием ППП МS Exsel определите уравнения трендов.

2. Выберите наилучший вид тренда на основании значения коэффициента детерминации.

3. Постройте графики ряда динамики и наилучшего тренда.

4. Постройте мультипликативную модель временного ряда.

Задача 14.

Динамика выпуска продукции Финляндии характеризуется данными (млн. долл.), представленными в табл. 3.14.

Таблица 3.14 – Динамика выпуск продукции Финляндии

Год	Выпуск продукции	Год	Выпуск продукции	Год	Выпуск продукции

Задание

1. C использованием ППП МS Exsel определите уравнения линейного и экспоненциального трендов.

2. Постройте графики ряда динамики и трендов.

3. Выберите наилучший вид тренда на основании графического изображения и значения коэффициента детерминации.

Задача 15.

Имеются данные об объеме экспорта из Российской Федерации (млрд. усл. ед.) за 1994 – 1999 гг.

Таблица 3.15 – Объем экспорта из Российской Федерации

Номер квартала	Экспорт, млрд. долл.	Номер квартала	Экспорт, млрд. долл.	Номер квартала	Экспорт, млрд. долл.

Задание

1. Постройте график временного ряда.

2. Постройте аддитивную и мультипликативную модели временного ряда.

3. Оцените качество каждой модели, используя показатель ошибки аппроксимации.

Задача 16.

Имеются данные о разрешениях на строительство нового частного жилья, выданных в 1990 – 1994 гг., % к уровню 1987 г.

Таблица 3.16 – Разрешение на строительство нового жилья

Месяц
Январь	72,9	61,4	71,2	78,3	86,4
Февраль	113,4	51,0	69,9	76,4	87,5
Март	86,2	55,3	74,3	74,5	80,2
Апрель	80,8	59,1	70,2	68,5	84,3
Май	73,7	59,5	68,4	71,6	86,8
Июнь	69,2	64,3	68,5	72,1	86,9
Июль	71,9	62,5	68,6	73,3	85,2
Август	69,9	63,1	70,6	76,2	85,0
Сентябрь	69,4	61,2	69,7	79,8	87,5
Октябрь	63,3	63,2	72,3	81,2	90,0
Ноябрь	60,0	64,3	73,5	83,5	88,4
Декабрь	61,0	63,9	72,5	88,0	85,7

Задание

1. Рассчитайте трендовую и сезонную компоненты.

2. Постройте автокорреляционную функцию временного ряда и охарактеризуйте его структуру.

3. Постройте аддитивную модель этого ряда.

Задача 17.

Имеются данные об объемах продаж в перерабатывающей промышленности и торговле, в сопоставимых ценах 1987 г., млрд. усл. ед.

Таблица 3.17 – Объем продаж в промышленности и торговле

Месяц
Январь	472,5	477,9	510,9	541,0	578,2
Февраль	482,1	467,5	484,7	512,3	539,4
Март	489,5	470,9	486,6	512,6	545,3
Апрель	493,6	469,1	488,4	511,5	551,9
Май	488,0	478,1	489,5	511,9	549,7
Июнь	490,6	480,6	486,6	513,9	550,1
Июль	492,5	479,3	491,8	520,0	554,0
Август	488,1	484,2	495,2	515,9	550,0
Сентябрь	493,1	484,9	491,8	524,2	565,6
Октябрь	484,5	485,6	496,1	527,1	564,7
Ноябрь	483,0	486,1	498,8	529,8	566,9
Декабрь	476,9	484,7	501,5	534,9	572,7

Задание

1. Рассчитайте трендовую и сезонную компоненты.

2. Постройте автокорреляционную функцию временного ряда и охарактеризуйте его структуру.

3. Постройте мультипликативную модель этого ряда.

Задача 18.

Имеются данные об экспорте и импорте Германии за 1985 – 1996 гг., мрд. усл. ед.

Таблица 3.18 – Объем экспорта и импорта Германии

Год	Экспорт	Импорт	Год	Экспорт	Импорт

Задание

1. Постройте график одновременного движения экспорта и импорта в Германии.

2. Постройте по каждому ряду тренды и выберите лучший из них.

3. Постройте уравнение регрессии с включением в нее фактора времени и оцените тесноту и силу связи двух рядов.

4. Выполните прогноз уровней одного ряда на 2007 год, исходя из его связи с уровнями другого ряда.

Задача 19.

Динамика объема платных услуг населению региона по кварталам 1996 -1999 гг. характеризуется данными, представленными в табл. 3.19.

Таблица 3.19 – Объем платных услуг населению, млн. руб.

Квартал	Объем платных услуг населению	Квартал	Объем платных услуг населению

Задание

1. Постройте автокорреляционную функцию временного ряда.

2. Охарактеризуйте структуру этого ряда.

3. Рассчитайте трендовую компоненту.

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные элементы временного ряда.

2. Что такое автокорреляция уровней временного ряда и как ее можно оценить количественно?

3. Каким образом выявляется структура временного ряда?

4. Перечислите основные виды трендов.

5. Каким образом можно построить уравнение тренда, используя ПП МS Exsel?

6. Выпишите общий вид аддитивной и мультипликативной модели временного ряда.

7. Перечислите этапы построения мультипликативной и аддитивной моделей.

8. С какими целями проводятся выявление и устранение сезонного эффекта?