Построение мультипликативной модели временного ряда

Определим компоненты мультипликативной модели временного ряда, используя данные о поквартальном объеме выработки некоторой продукции за 3 года, использованные для расчета компонент аддитивной модели временного ряда.

Таблица 3.5 – расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели

Номер квартала t	Объем выпуска Yt	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
		-	-	-	-
		-	-	-	-
			531,25	553,13	1,293
					1,008
				647,5	0,903
					0,794
				752,5	1,296
					1,006
				847,5	0,903
				917,5	0,785

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов оценок сезонной компоненты представлены в табл. 3.5.

Шаг 2. найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Используем эти оценки для расчетов значений сезонной компоненты S (табл. 3.6).

Таблица 3.6 – расчет значений сезонной компоненты в мультипликативной модели

Показатели	Год	Номер квартала, i
I	II	III	IY
		- 0,903 0,903	- 0,794 0,785	1,293 1,296 -	1,008 1,006 -
Итого за i - й квартал за все годы		1,806	1,579	2,589	2,014
Средняя оценка сезонной компоненты для i -го квартала		0,903	0,79	1,295	1,007
Скорректированная сезонная компонента, Si		0,904	0,791	1,296	1,009

Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла (год) равно 4 (четыре квартала).

Имеем 0,903 + 0,789 + 1,295 + 1,007 = 3,995.

Определим корректирующий коэффициент: k = 4/3,995 = 1,001.

Определим скорректированные значения сезонной компоненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффициент k.

Проверим условие равенства 4 значений сезонной компоненты:

0,904 + 0,791 + 1,296 + 1,009 = 4.

Получим следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: S₁ = 0,904; II квартал: S₂ = 0,791;

III квартал: S₃ = 1,296; IY квартал: S₄ = 1,009.

Занесем полученные значения в табл.3.6 для соответствующих кварталов года.

Таблица 3. 6– расчет выровненных значений Т и ошибок Е в мультипликативной модели

t	Yt	Si	T * E = Yt : S	T	T * S	Е=Yt : (T*S)	Е=Yt - (T*S)	E2
		0,904	453,54	441,92	399,496	1,026	10,504	110,334
		0,791	505,689	495,15	391,664	1,021	8,336	69,489
		1,296	551,698	548,38	710,7	1,006	4,3	18,490
		1,009	605,4	601,61	607,024	0,988	-7,024	49,337
		0,904	647,124	654,84	591,975	0,988	-6,975	48,651
		0,791	707,965	708,07	560,083	1,000	-0,083	0,007
		1,296	752,315	761,3	986,645	0,988	-11,645	135,606
		1,009	792,864	814,53	821,861	0,973	-21,861	477,903
		0,904	846,239	867,76	784,455	0,975	-19,455	378,497
		0,791	910,24	920,99	728,503	0,988	-8,503	72,301
		1,296	952,932	974,22	1262,589	0,978	-27,589	761,153
		1,009	1090,188	1027,45	1036,697	1,061	63,303	4007,270

Шаг 3. разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Тем самым получим величины Т*Е = Y_t: S, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту Т в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (Т*Е). График линейного тренда представлен на рис. 3. 5.

Уравнение тренда имеет следующий вид:

Т = 388,69 + 53,23*t.

Подставляя в это уравнение значения t = 1, 2, …,12, найдем уровни Т для каждого момента времени.

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

Шаг 6. расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле

Е = Y_t : (T*S).

Для того, чтобы оценить качество полученной мультипликативной модели, используя коэффициент детерминации, необходимо рассчитать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются как

Е = Y_t - (T*S).

Рис. 3.5. Объем выпуска продукции

В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 6129,037. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от среднего значения равна 735606,3. Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда равна: (1-6129,037/735606,3)*100 = 99,17%.