Формула полной вероятности. Пусть событие А наступает при условии появления одного из двух несовместных образующих полную группу событий Н1 и Н2 и известны их вероятности Р(Н1)

Пусть событие А наступает при условии появления одного из двух несовместных образующих полную группу событий Н ₁ и Н ₂ и известны их вероятности Р (Н₁), Р (Н₂). Пусть также известны условные вероятности Р _Н1 (А), Р _Н2 (А) появления события А при появлений событий Н ₁ и Н ₂.

Как найти безусловную вероятность Р (А)? Ответ дает теорема.

Теорема полной вероятности. Безусловная вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий Н ₁ или Н ₂, образующих полную группу равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность событияА.

Р (А) = Р (Н ₁)× Р_{Н 1}(А) + Р (Н ₂)× Р_{Н 2}(А)

П р и м е р.

Пусть подбрасываются две монеты. Пусть события Н ₁= ОО + ОР, Н ₂ = РО + РР. Вычислить вероятность события А = ОО по формуле полной вероятности.

Решение.

Очевидно Н ₁ и Н ₂ несовместны и образуют полную группу. Ясно также, что они равновозможны и вероятности их тогда равны

Р (Н₁) = 1/2, Р (Н₂) = 1/2.

Если произошло событие Н ₁, то условная вероятность выпадения ОО есть очевидно Р _Н1(ОО) = 1/2.

Если произошло событие Н ₂, то условная вероятность выпадения ОО есть очевидно Р _Н2(ОО) = 0.

По формуле полной вероятности имеем

Р (А) = Р (Н ₁) × Р_{Н 1}(А) + Р (Н ₂) × Р_{Н 2}(А) = (1/2) × (1/2) + 0 × (1/2) = 1/4

П р и м е р. Имеется два ящика деталей. Вероятность того что взятая наугад из первого ящика деталь окажется стандартной равна 0.8, а из второго − 0.9. Проводят эксперимент. Берут наугад любой из ящиков и наугад вытаскивают из него деталь. Найти вероятность того, что вынутая деталь окажется стандартной.

Решение. Эта задача по существу дела не отличается от предыдущей. Пусть А = { вынутая деталь стандартна }. Н ₁ = { взят первый ящик }, Н ₂ = { взят второй ящик }.

Вычисляем

Р (Н₁) = 1/2, Р (Н₂) = 1/2, Р _Н1(А) = 0.8, Р_{Н 2}(А) = 0.9.

Р (А) = Р (Н ₁) × Р_{Н 1}(А) + Р (Н ₂) × Р_{Н 2}(А) =

= (1/2) × (0.8) + (1/2) × (0.9) = 0.85.

П р и м е р. Один, выбранный наугад, из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.

Решение.

В задаче предполагается, что события выбора одного из стрелков равновозможны, поэтому вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна . Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:

− для первого стрелка:

−для второго стрелка:

− для третьего стрелка:

Искомая вероятность равна: