Формула Бейеса (формула гипотез)

Пусть имеется полная группа несовместных событий, которые здесь назовем гипотезами с известными вероятностями их наступления . Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности . Требуется определить условные вероятности гипотез при появлении события события А, т.е. требуется вычислить .

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события. Суть теоремы выражается формулой Бейеса.

Замечание.

Обозначение равносильно обозначению

Пример.

Пусть подбрасываются две монеты. Пусть события (гипотезы) Н ₁= ОО + ОР, Н ₂ = РО + РР. Произвели эксперимент и произошло событие А=ОО. Вычислить условную вероятность события

Р _А (Н ₂)= Р (Н ₂/ А)по формуле Б ейеса.

Решение.

Находим

Р (Н ₁) = 1/2, Р (Н ₂) = 1/2, Р_{Н 1}(А)=1/2, Р_{Н 2}(А) = 0

и вычисляем

Видно, после испытания вероятность гипотез существенно изменилась, вероятность первой гипотезы увеличилась с 1/2 до 1, а второй уменьшилась с 1/2 до 0. Получили очевидный ответ. Действительно, если выпало ОО, то это могло произойти только тогда, когда произошло событие Н ₁, так как событие ОО содержится в Н ₁. С доругой стороны если произошло событие ОО, то событие Н ₂ не могло произойти, т.к. ОО не содержится в нем.

Пример 2. Имеется два ящика деталей. Вероятность того что взятая наугад из первого ящика деталь окажется стандартной равна 0.8, а из второго − 0.9. Проводят эксперимент. Берут наугад любой из ящиков и наугад вытаскивают из него деталь. Деталь оказалась стандартной. а) Вычислить вероятность того, что стандартная деталь вынута из первого ящика. б) Вычалить вероятность того, что стандартная деталь вынута из второго ящика

Решение. Эта задача по существу дела не отличается от предыдущей. Пусть А = { Вынутая деталь стандартна }. Н ₁ = { взят первый ящик }, Н ₂ = { взят второй ящик }.

Вычисляем

Р (Н₁) = 1/2, Р (Н₂) = 1/2, Р_{Н 1}(А) = 0.8, Р_Н2 (А) = 0.9.

а)

б)

Как видно, и в этом примере, после испытания вероятность гипотез изменилась, вероятность первой гипотезы немного уменьшилась, а второй немного увеличилась. Таким образом формула Байеса позволила переоценить условные вероятности гипотез, годная деталь вероятнее вынута из второго ящика, чем из первого. Качественно это естественно, так как вероятность вынуть годную деталь из второго больше чем вероятность вынуть годную деталь из первого ящика и теорема Байеса позволяет количественно