Если любые два события в эксперименте являются независимыми, то события называются попарно независимыми

Из независимости в совокупности следует попарная независимость. Обратное утверждение неверно. Из попарной независимости не следует независимость в совокупности.

Например, если А, В, С независимы в совокупности, то они и попарно независимы (пример можно посмотреть в [ с.]). Обратное утверждение неверно. Если А, В, С попарно независимы, то отсюда не следует их независимость в совокупности.

Замечание 1. Чаще всего встречаются события независимые в совокупности, по крайней мере здесь мы будем рассматривать только такие события.

Замечание 2. Важно сравнить понятия совмест ности (несовместности) событий и зависимости (независимости) событий. Для несовместных событий вводится только понятие попарной несовместности. Понятие несовместности в совокупности отсутствует, оно излишне.

2.8. Теорема умножения для n независимых событий

Именно для случая независимых в совокупности событий справедлива теорема умножения вероятностей.

Теорема. Пусть в эксперименте могут появляться совместные, независимые в совокупности события А ₁, А _2, …, А _n, тогда вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей этих событий

.

П р и м е р. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 3 монет одновременно. Найти вероятность того, что все три монеты выпадут орлом, т.е. появится событие OOO.

Решение. Вероятность выпадения орла на каждой из монет равна 1/2. Три события независимы в совокупности, поэтому вероятность выпадения ООО равна P (OOO) = 1/2 ×1/2 ×1/2 =1/8.

П р и м е р. Имеется три ящика с 10 деталями каждый. В первом ящике 7, во втором 8, в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика вынимают по одной детали. Вычислить вероятность того, что все вынутые три детали окажутся стандартными.

Р е ш е н и е Вероятности того что будут вынуты стандартные детали из каждого ящика соответственно равны р 1= 0.7, р 2 = 0.8, p 3 = 0.9. Вероятность совместного появления трех стандартных деталей равна P (A) = р 1× р 2× p 3 = 0.7×0.8×0.9 = 0.504.

П р и м е р. Стреляют три орудия. Вероятности попадания первого орудия равна р 1= 0.7, второго р 2 = 0.8, третьего p 3 = 0.9. Вычислить вероятность того, что все вынутые три орудия попадут в мишень. Задача по сути не отличается от предыдущей. Вероятность совместного попадания трех орудий равна P (A) = р 1 × р 2 × p 3 = 0.7×0.8×0.9 = 0.504.