Поясним это рисунком

Пусть в каждой из областей A, L, B, M своего цвета находится соответственно точек n ₁, l, n ₂, m_. Точки обозначают элементарные исходы. Таким образом, все пространство событий Ω содержит N = n ₁ + l + n ₂ + m точек. Тогда очевидно событие А содержит n ₁ + l точек, а событие В состоит из l + n ₂ точек. Событие М = Ω – (A+B) содержит m точек. Тогда P (А)=(n ₁ + l)/ N, P (B)=(n ₂ + l)/ N, а вероятность их произведения

P (АВ) = P (L) = l / N.

Условная вероятность

Р_А (В) = n (А × В)/ n (А)

будет вычисляться по формуле

.

Из этой формулы хорошо виден смысл условной вероятности, за всевозможные исходы принимаются исходы, составляющие событие А, а за благоприятствующие только те исходы события В, которые входят в событие А.

Интересно найти соотношение, которому должны удовлетворять величины n ₁, l, n ₂, m, чтобы события были независимыми.

События А и В будут независимыми, если выполняется формула

Количество исходов благоприятствующих А × В очевидно равно n (А × В) = 1, т.е когда выпадет только ОО, а количество исходов благоприятствующих А равно, n (А) = 2 т.е. может выпасть OO или ОР. Поэтому Р_А (В) = 1/2.

Второй способ подсчета условной вероятности.

Р_А (В) = Р (А × В) / Р (А),

где Р (А × В) − вероятность совместного появления события А×В; Р (А) − вероятность появления А.

Вероятность Р (А × В) равна очевидно вероятности появления события ОО которая равна 1/4, т.е. Р (А × В) = Р(ОО) = 1/4. Вероятность события А равна конечно 1/2, Р (А)= 1/2, поэтому Р_А (В)= (1/4): (1/2) = 1/2.

Если вероятность появление одного события A не зависит от появления другого события В, то события называются независимыми и формула для произведения вероятностей выглядит так:

P (А×В) = Р(А) × P(В).

Если события А и В принадлежат пространству событий Ω и количество элементарных исходов Ω равно сумме исходов, составляющих объединение событий А и В, то условная вероятность есть и безусловная.

Говорить об условной вероятности можно только тогда, когда события А и В принадлежат пространству событий Ω и количество элементарных исходов Ω больше суммы исходов, составляющих объединение событий А и В (рис.12 ).

Пример. Пусть брошена игральная кость. И стало известно, что выпало не меньше пяти очков. Какова при этом условии вероятность события В, заключающегося в том, что выпала 6 очков?

Если бы не было известно, что произошло событие А, то вероятность выпадения 6 очков оценивается числом 1/6. Однако в задаче содержится дополнительная информация о том, что выпало 5 или 6 очков, поэтому при этом дополнительном условии вероятность события В равна 1/2.

Определение. Условной вероятностью события В при условии, что А произошло Р_А (В) называется вероятность события В найденное в предположении, что А произошло.

Замечание. Было уже отмечено, что мы всегда имеем дело с условной вероятностью. Когда записываем Р (А), то надо полагать, что это условная вероятность появления события А при создании условий S эксперимента и следовало бы писать Р _S(А)

П р и м е р 2. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 2 монет одновременно. В результате проведения такого эксперимента имеется четыре непосредственных события ОО, ОР, РО, РР.

Пусть

А = { только на одной монете появляется О илина обоих РР } = ОР+РО +PP.

В = { на первой О, а на второй О или Р } = ОО+ОР.

Какова условная вероятность появления события В, в предположении, что А произошло?

Видно, что события А и В совместны. Если исход эксперимента ОР, то это может рассматриваться как событие С состоящее в одновременном появлении события А и события В при подбрасывании двух монет. Это записывают так С = А × В ( или С = А ⋂ В).

Вычислим условную вероятность двумя способами.

1 способ. Воспользуемся формулой Р_А (В) = n (А × В) / n (А).

Если А произошло, то это означает, что могло быть три возможности или ОР или РО или PP, но для собы тия А × В = ОР благоприятствует только один случай, поэтому имеем

Р_А (В) = 1/3.

2 способ. Воспользуемся формулой Р_А (В) = Р (А × В) / Р (А)

Вероятность Р (А × В) = Р (OP) = 1/4, а вероятность Р (А) = Р(ОР+РО+PP) = 3/4. Поэтому

Р_А (В) = (1/4): (3/4) = 1/3..