Противоположные события

Рассмотрим определение противоположных событий.

Два события А и В называются противоположными событиями, если они образуют полную группу несовместных событий эксперимента, т.е. А+В= W и А ∩ В = Æ.

Событие противоположное А обозначается через . Противоположное событие В = заключается в том, что в результате эксперимента событие А не произойдет.

Например. Рассмотрим событие эксперимента А, которое состоит в том, что в результате проведения эксперимента, подбрасывании двух монет, выпадет не менее одного орла

А ={ выпадет не менее одного орла }.

Пространство событий эксперимента W можно представить в виде объединения двух исходов W = А+ РР.

Рис. 4. Схема, отражающая понятие противоположных событий.

События А и РР являются противоположными W = А+ РР (РР= ).

Пример.

Если подбрасывается 3 монеты то имеем 8 элементарных исходов.

Разбивая множество из 8 элементарных исходов на любые два несовместных подмножеств событий мы получим полную группу несовместных событий, которые можно назвать противоположными..

Например

1) А = OOO + OOP + OPO+OPP+POO, В= POP+PPO+PPP.

Событие А объединяет пять элементарныхисхода, а событие В объединяет триисхода.

Эти события образуют полную группу А + В = W и очевидно несовместны, поэтому они суть образуют два события которые можно назвать противоположными. Таким образом А и В есть два противоположных события.

Теорема. Сумма вероятностей двух противоположных событий А и В равна 1 .

P (A) + P (B) = 1.

Поясним теорему на рассмотренном примере

Вероятность события Р (А) = 5/8, а Р (А) = 3/8. Сумма их вероятностей равна 5/8 + 3/8 = 1.

Из теоремы следует, что вероятность одного из противоположных событий равна разности 1 и вероятности другого противоположного события.

P (A) = 1 − P (B).

С помощью понятия противоположных событий некоторые задачи легко решаются, тогда как другими способами такие задачи решить было бы труднее.

Пример. В ящике лежат 12 монет, причем 4 из них фальшивые. Берут наугад 5 монет. Какова вероятность, что среди отобранных есть хотя бы одна фальшивая.

Решение. Вычислить вероятность P(А) потребовало бы применения теоремы сложения вероятностей и вычисления трёх вероятностей появления среди отобранных монет либо 1, либо, 2, либо 3, либо 4 фальшивых монет.

С применением понятия противоположных событий эту задачу можно решить проще. События А = { среди отобранных есть хотя бы одна фальшивая } и событие В = { среди отобранных нет фальшивых противоположны }. Вычислим только одну вероятность P (В). Общее количество способов которыми можно извлечь 5 монет из 12 можно подсчитать с помощью формулы для сочетаний

, количество способов извлечь 5 нефальшивые (настоящих) монет из 8 настоящих монет имеется

.

Таким образом P (В) = 56/792 = 0.071.

Тогда вероятность противоположного события равна

Р (А) = 1 − 0.071 = 0.929.

Решение задачи показывает, что хотя в наборе есть всего четыре фальшивые монеты, вероятность, того, что в отобранных 5 монетах будет присутствовать хотя бы одна фальшивая довольно высока.