Пример на вычисление вероятности произведения событий

С понятием произведения двух событий тесно связано понятие зависимых и независимы х событий и соответственно условной и безусловной вероятности. Это наиболее трудный для восприятия материал, поэтому рассмотрим пример в котором используются эти понятия, и постараемся понять их интуитивно, а в дальнейших параграфах введем их строгие определения.

Пример.

Пусть подбрасывается две монеты. Этот эксперимент можно рассматривать как сложный, состоящий из двух экспериментов. Первый эксперимент состоит в подбрасывании первой монеты, а второй эксперимент состоит в подбрасывании второй монеты.

В каждом простом эксперименте может появиться Орел или Решка О1, Р1, О2, Р2.

Из этих простых исходов образуются 6 сложных событий, равное количеству сочетаний из 4 по 2

Это будут произведения событий:

О1×Р1, О1×О2, О1×Р2, Р1×О2, Р1×Р2, О2 ×Р2.

Вычислим вероятности появления сложных событий. Вероятности событий О1, Р1 при условии, что S1 произошло равны по 1/2. Вероятности событий О2, Р2 при условии что S2 произошло то же равны по 1/2. Поэтому можно записать условные вероятности

P _S1(O1)= P _S1(Р1)= P _S2 (O2) = P _S2 (Р2)=1/2.

Тогда вероятности совместных событий должны подсчитываться по формулам для произведения событий

Р (О1×Р1), Р (О1×О2), Р (О1×Р2), Р (Р1×О2), Р (Р1×Р2), Р (О2 ×Р2)

Два из этих шести событий невозможны: О1×Р1=Æ и О2×Р2=Æ, Поэтому их вероятности равны нулю

Р (О1×Р1) =0, Р (О2 ×Р2) =0.

Отметим, что из 6 простых событий можно получить и другие невозможные события, например О1×О1, О1×О1+ О2, Р1×Р2, О1×О1 ×Р1, и т.д. до бесконечности. Однако эти события бессодержательны, они невозможны.

Остальные четыре вероятности можно подсчитать по формуле для независимых событий.

Р (О1×О2)=(1/2)×(1/2)=1/4,

Р (О1×Р2)= (1/2)×(1/2)=1/4,

Р (Р1×О2)= (1/2)×(1/2)=1/4,

Р (Р1×Р2)= (1/2)×(1/2)=1/4.

Знак умножения и цифры обозначающие эксперименты можно не ставить и получим

P (ОО)=1/4, P (ОР)=1/4, P (РО)=1/4, P (РР)=1/4.

Мы получили вероятности которые раньше подсчитывали по классической формуле для равновозможных, несовместных и образующих полную группу событий и ОО, ОР, РО, РР.

Замечание 1. В данной постановке задачи по подбрасыванию двух монет рационально рассматривать события ОО, ОР, РО, РР как элементарные (непосредственные) исходы эксперимента. Вообще говоря, любой исход в этом примере, например ОР можно представить в виде совместного появления двух ещё более элементарных исходов: “орёл” на первой монете и “решка 2” на второй и тогда ОР есть совместное появление двух исходов орла на 1 и решка на 2. Но этот вопрос мы отложим до параграфа.

Из этого замечания следует, что событие может считаться элементарным даже тогда, когда оно разложимо на ещё более простые события.