Решение. Подстановка: . Найдем дифференциалы обеих частей подстановки

а) ;

Подстановка: . Найдем дифференциалы обеих частей подстановки

или . Произведем замену переменной в подынтегральном выражении и найдем интеграл .

б) .

В первом из интегралов, стоящих справа, введем подстановку . откуда или . Таким образом, .

Второй интеграл справа является табличным .

Итак, , где , две произвольные постоянные суммы неопределенных интегралов объединяют в одну.

в)

Подстановка:

Получим табличный интеграл типа . Возвращаясь к прежней переменной, будем иметь .

г) . Найдем его методом интегрирования по частям по формуле .

Примем , .

В первом из этих двух равенств обе части дифференцируем, чтобы найти , а во втором интегрируем, чтобы найти . Получим , (здесь произвольную постоянную интегрирования принимаем равной нулю, поскольку достаточно хотя бы одного значения ).

Применив формулу интегрирования по частям, получим

.

д) . Это интеграл от рациональной функции. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби по известному правилу, предварительно разложив знаменатель дроби на множители . Тогда , где A, B, M, N – неопределенные коэффициенты, которые надо найти. Приведя обе части последнего равенства к общему знаменателю, найдем

.

Такое равенство отношений с одинаковыми знаменателями возможны только в случае равенства числителей, то есть .

Приравнивая коэффициенты при x в одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений

Решение системы:

Переходим к интегрированию

!! .

Приведем две задачи геометрического характера, связанные с вычислениями определенного интеграла.

Задача 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,

, (рис.2)

Решение. Фигура ОМА (рис.4) ограниченная данными линиями, состоит из двух частей ОМВ и ВМА, представляющих собою частные случаи криволинейных трапеций, ограниченных сверху кривой на и примой на . Таким образом искомая площадь вычисляется с помощью определенного интеграла как сумма двух площадей по формуле

рис. 4.

Определенные интегралы вычисляются по ф>рмуле Ньютона-Лейбница . Итак, площадь ОМА равна

.

Задача 13. Вычислить объем тела, полученного в результате вращения

вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , ,

, . (рис. 5).

Решение. Объем тела вращения находим по формуле

рис. 5.

Задача 14. Найти частное решение дифференциального уравнения

, удовлетворяющее начальным условиям

при .