Метод контурных токов. Метод контурных токов следует из законов Кирхгофа и принципа наложения

Метод контурных токов следует из законов Кирхгофа и принципа наложения. Этот метод позволяет сократить число решаемых уравнений. Уравнения составляются относительно контурных токов. Число уравнений равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить по 2 закону Кирхгофа. Предполагается, что в каждом независимом контуре протекает свой контурный ток, составляется система уравнений относительно контурных токов. После написания контурных токов рассчитываются токи в ветвях.

Для получения основных расчетных соотношений рассмотрим схему:

Схема содержит 2 независимых контура.

Предполагается, что в каждом протекает свой контурный ток I₁₁ и I₂₂.

Токи в ветвях могут быть выражены через контурные токи следующим образом:

I₁=I₁₁; I₃=-I₂₂; I₅=I₁₁-I₂₂.

В несмежных ветвях токи в ветвях равны противоположным по знаку контурным токам. В смежной ветви ток ветви равен разности контурных токов.

Обозначим:

<обрезалось> 1-го контура.

<обрезалось> = сумме сопротивлений всех ветвей.

R₂₂=R₃+R₄+R₅ – полное (контурное) сопротивление 2-го контура = сумме сопротивлений всех ветвей контура.

R₁₂=R₂₁=-R₅ – сопротивление смежной ветви со знаком «-».

E₁₁=E₁+E₅ – контурная ЭДС – алгебраическая сумма ЭДС контура.

E22=-E4-E5 – контурная ЭДС 2-го контура.

В общем случае, если электрическая цепь содержит N независимых контуров, составляется система уравнений для N контурных токов.

Правило: составляется сумма произведений контурных токов на сопротивления и сопротивления смежных ветвей с соответствующими знаками, и эта сумма приравнивается контурной ЭДС. В результате решения системы уравнений находятся контурные токи. Токи в ветвях выражаются через контурные токи.

3 независимых контура, контурных уравнений будет 3. Для единообразия желательно, чтобы все контурные токи были направлены в одну сторону.

(*)

Систему (*) можно представить в матричном виде:

В общем случае, если электрическая цепь содержит N независимых контуров, то контурный ток в K-м контуре может быть найден по формуле:

, где

Δk – определитель матрицы, получаемый из матрицы [R] заменой k-го столбца на матрицу-столбец контурных ЭДС.

Последовательное и параллельное соединение сопротивлений в цепи постоянного тока (метод эквивалентных преобразований).

Если электрическая цепь содержит 1 источник ЭДС, можно применить МЭП и рассчитать электрическую цепь, используя закон Ома. Существуют 4 основных вида соединения элементов:

· Последовательное

· Параллельное

· Треугольник

· Звезда

(2) (**)

(1)

При последовательном соединении элементов через все элементы протекает один и тот же ток:

Для цепи (1) можно записать 2-й закон Кирхгофа:

IR₁+IR₂+…+IR_N=E

(R₁+R₂+…+R_N)I=E (*)

Эквивалентность понимается в смысле равенства токов в схеме (1) и (2).

Сравнивая (*) и (**): Rэк=R₁+R₂+…+R_N.

При последовательном соединении сопротивлений их эквивалентное сопротивление равно сумме отдельных сопротивлений.

Параллельное соединение – все элементы (сопротивления) подключаются к одной паре узлов.

I=I₁+I₂+…I_N.

.

Сравнивая(*) и (**), получаем:

;

Так как суммарная (эквивалентная) проводимость не может быть меньше проводимости ветви с наименьшим сопротивлением при параллельном соединении сопротивлений, эквивалентное сопротивление всегда меньше сопротивления ветви с наименьшим сопротивлением.

Рассчитать токи I₁, I₂, I₃.

Метод эквивалентного генератора.

Часто требуется определить электрическое состояние одной ветви (найти ток одной ветви) по отношению к этой ветви остальная электрическая цепь может быть представлена в виде активного двухполюсника.

В свою очередь многоэлементный активный двухполюсник можно заменить двухэлементным активным двухполюсником с параллельными Э.Д.С. и внутренним сопротивлением(R_в).

Теорема об эквивалентном источнике Э.Д.С.(эквивалентный генератор):
ток в любой ветви «ab» линейной электрической цепи не уменьшится, если электрическую цепь подключить к ветви «ab» заменить эквивалентным источником (эквивалентным генератором) Э.Д.С. которого E_э = напряжение на ветви «ab» при разомкнутой ветви ab, а внутреннее сопротивление (R_в) равно входному сопротивлению пассивной цепи при разомкнутой ветви ab, относительно зажимов ab.

Порядок расчета:

1. размыкаем ветвь ab и находим напряжение.

2. удаляем из цепи все источники оставляя их внутреннее сопротивление,

3. рассчитываем входное сопротивление цепи относительно зажимов ab (при разомкнутой ветви ab)

4. по закону Ома (Кирхгофа) определяем ток в ветви ab .

Мостовая схема.

1)

2) .

3) .

Мост сбалансирован (равновесен) если I₅ =0 следовательно R₂ R₃ = R₁ R₄ (условие равновесия моста).

Баланс мощностей. Энергетические соотношения в цепях постоянного тока.

Баланс мощностей – следствие закона сохранения энергии. Для цепей постоянного тока записывается в виде (суммарная мощность, генерируемая всеми источниками электрической энергии в цепи равна сумме мощностей потребляемой всеми приемниками). В выражении с лева все слагаемые со знаком «+» (), а с права слагаемые «+» и «-» при этом сумма «+».

1. направление тока совпадает с направлением Э.Д.С. IE>0. источник Э.Д.С. – в состоянии генератора.

2. - Э.Д.С. приемник.

Баланс мощностей иногда используют в качестве критерия правильности расщета электрической цепи.

Мощность источника - .

Полезная мощность - .

Потеря мощности - .

Эффективность передачи электрической энергии определяется по к.п.д. .

.

.

Мощность, выделяющаяся на нагрузке:

Мощность зависит от сопротивления нагрузки. Найдем сопротивление нагрузки, при котором мощность нагрузки будем максимальна: .

Режим работы двухполюсника.

1. режим холостого хода.

2. режим короткого замыкания.

3. согласованный режим.

4. номинальный режим.

E_э - Э.Д.С. эквивалентного генератора.

R_в – внутреннее сопротивление эквивалентного генератора.

R_н – сопротивление нагрузки.

1. режим холостого хода, соответствует случаю, когда ток в нагрузке отсутствует и осуществляется отключением пассивного 2-хполюсника от активного. Напряжение на зажимах активного 2-хполосника = Э.Д.С. эквивалентного генератора I_н =0, U_хх =Е_э , R_н →∞

2. режим короткого замыкания, когда сопротивление нагрузки = 0. в этом случае напряжение на активном 2-хполюснике = 0, ток стремится к бесконечности. .

3. согласованный режим, когда на нагрузке максимальная мощность. .

4. номинальный режим работы активного и пассивного 2-хполюсника соответствует случаю, когда токи и напряжения источников и приемников равны номинальным, т.е. тем токам и напряжениям, которые задаются разработчиками. Номинальное напряжение и ток указывается в паспорте, каталогах. В силовых сетях: R_н >>R_в , η↑. В некоторых устройствах радиотехники автоматики стремятся получить максимальную мощность, что может привести к режиму короткого замыкания.