Геометрический смысл теоремы Лагранжа

Из рисунка непосредственно ясно, что величина представляет собой тангенс угла α наклона хорды, проходящей через точки A и B графика с абсциссами a и b.

С другой стороны, f’(c) есть тангенс угла наклона касательной к кривой в точке с абсциссой c. Таким образом, геометрический смысл равенства (1’) или равносильного ему равенства (1) состоит в следующем: если во всех точках дуги AB существует касательная, то на этой дуге найдётся точка C между A и B, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A и B.

Заметим, далее, следующее. Так как значение c удовлетворяет условию a < c < b, то c – a < b – a, или c – a = θ (b – a), где θ есть некоторое число, заключённое между 0 и 1, т. е. 0 < θ < 1. Но тогда c = a + θ(b – a), и формуле (1) можно придать следующий вид:

f(b) – f(a) = (b – a)f’[a + θ (b – a)], 0 < θ < 1. (1’’)

Кабанов 11. Доказать теорему Ферма.

Теорема Ферма

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Если существует f'(с), то f'(с) = 0.   ДОКОЗАТЕЛЬСТВО: Пусть, например, f(с) = М – наибольшее значение функции в интервале (а, в) и существует f'(с). По определению производной f'(с)= .   При любом знаке Dх f(c+Dx)-f(c)≤0, так как f(с) – наибольшее значение функции в (а, в). Если Dх>0, то и, следовательно, f'(с)≤0. Если же Dх<0, то и f'(с) ≥0. Следовательно, f'(с)=0. Геометрически теорема означает, что касательная, проведенная к графику функции в точке (с; f(с)), параллельна оси Ох.

12 Первое достаточное условие существования экстремума функции.

Предположим сначала, что производная меняет знак с плюса на минус, т.е. что для всех х, достаточно близких к точке х₁, имеем

f’(x)>0 при x<x₁,

f’(x)<0 при x>x₁.

Применяя теорему Лагранжа к разности f(x)-f(x₁), получим

f(x)-f(x₁)=f’(φ)(x-x₁), где φ – точка, лежащая между х и x₁.

1) Пусть x<x₁; тогда φ<x₁, f’(φ)>0, f’(φ)(x-x₁)<0

и, следовательно, f(x)-f(x₁) < 0, или f(x) < f(x₁).

2) Пусть x>x₁; тогда φ>x₁, f’(φ)<0, f’(φ)(x-x₁)<0

и, следовательно, f(x)-f(x₁) < 0, или f(x) < f(x₁).

Соотношения (1) и (2) показывают, что для всех значений х, достаточно близких к x₁, значения функции меньше, чем значения функций в точке x₁. Следовательно, в точке x₁ функция f(x) имеет максимум.

Аналогичным образом доказывается вторая часть теоремы о достаточном условии минимума.