Доказать теорему Лагранжа

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a,b] найдётся по крайней мере одна точка c, a<c<b, что

f(b) – f(a) = f’(c)(b – a) (1)

Доказательство. Обозначим буквой Q число , т. е. положим

(2)

и рассмотрим вспомогательную функцию F(x), определённую равенством

F(x) = f(x) – f(a) – (x – a)Q. (3)

Выясним геометрический смысл функции F(x). Для этого напишем сначала уравнение хорды AB, учитывая, что её угловой коэффициент равен и что она проходит точку (a; f(a)):

y – f(a) = Q(x - a),

отсюда

y = f(a) + Q(x - a).

Но F(x) = f(x) – [f(a) + Q(x-a)]. Следовательно, F(x) для каждого значения x равняется разности ординат кривой y = f(x) и хорды y = f(a) + Q(x-a) для точек с одинаковой абсциссой.

Легко видеть, что F(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема внутри этого отрезка и обращается в нуль на концах отрезка, т. е. F(a) = 0, F(b) = 0. Следовательно, к функции F(x) применима теорема Ролля. Согласно этой теореме внутри отрезка существует точка x = c такая, что F’(c) = 0.

Но F’(x) = f’(x) – Q. Значит F’(c) = f’(c) – Q = 0, откуда Q = f’(c).

Подставляя значение Q в равенство (2), будем иметь:

(1’)

откуда непосредственно следует формула (1). Таким образом, теорема доказана.