Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Производной функции в точке (производной первого порядка) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю: .
Если этот предел конечен, то функция называется дифференцируемой в точке ; в противном случае (то есть если он не существует или равен бесконечности) – не дифференцируемой. В том случае, когда предел есть бесконечность, говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную.
Дифференциалом функции (дифференциалом первого порядка) называется главная часть ее приращения, пропорциональная приращению независимой переменной .
Дифференциал независимой переменной равен ее приращению :
.
Дифференциал любой дифференцируемой функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной:
. (10.1)
Соотношение (10.1) остается в силе и тогда, когда есть функция другого аргумента – в этом заключается инвариантность формы первого дифференциала.
Из соотношения (10.1) получаем , то есть производная первого порядка функции равна отношению первого дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента.
Пример
Задание: Пользуясь определением производной, найти производную и дифференциал функции . Вычислить .
Решение: Найдем приращение функции , соответствующее данному приращению аргумента :
.
Тогда
и
.
По формуле (10.1) находим дифференциал функции:
.
Подставляя в выражение для значение , получим
.
Дата публикования: 2015-02-18; Прочитано: 220 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!