Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Число называется пределом функции при , стремящемся к , если для любого числа найдется такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено неравенство .
Вычисление предела функции следует начинать с подстановки предельного значения аргумента , ( - число или один из символов , , ) в выражение, определяющее эту функцию. При этом приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.
I. Если основная элементарная функция определена в предельной точке , то .
Имеют место основные теоремы, на которых основано вычисление пределов элементарных функций.
1. Если - постоянная величина, то .
2. Если - постоянная величина, то .
3. Если существуют конечные пределы и , то:
;
;
.
II. Функция в предельной точке не определена. Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода. В одних случаях (наиболее простых) вопрос сводится к применению теорем о свойствах бесконечно малых и бесконечно больших функций и связи между ними.
Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда подстановка предельного значения аргумента в выражение для приводит к одной из неопределенностей:
, , , , , , .
Тогда вычисление предела заключается в раскрытии полученных неопределенностей.
Здесь могут оказаться полезными:
первый замечательный предел , ( - радианная мера угла);
второй замечательный предел .
Кроме того, при раскрытии неопределенностей используют следующие приемы:
1. сокращение дроби на критический множитель при ;
2. избавление от иррациональности в числителе или знаменателе дроби;
3. разложение многочленов на линейные или квадратичные множители при , .
Пример
Вычислить пределы:
Задание 1: 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Решение: 1) , при , (на ноль делить нельзя). Таким образом, есть величина бесконечно малая, а обратная ей величина - бесконечно большая. Поэтому при произведение есть величина бесконечно большая, то есть .
2) =
= .
3) ; умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель .
=
= .
4) ; вынесем за скобки, получим (при , , - бесконечно малые величины и их пределы равны нулю).
Задание 2: 1) ; 2) .
Решение: 1) ; выполним преобразования и воспользуемся вторым замечательным пределом.
.
2) .
Дата публикования: 2015-02-18; Прочитано: 221 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!