![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Функция называется непрерывной в точке
, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть
.
Функция называется непрерывной в точке
, если существует конечный предел функции в этой точке, который равен значению функции в точке
, то есть
.
Примером непрерывной функции может служить любая элементарная функция, которая непрерывна в каждой точке своей области определения.
Точка называется точкой разрыва функции
, если эта функции определена в некоторой окрестности точки
, но в самой точке
не удовлетворяет условию непрерывности.
Точки разрыва функции делятся два типа. К точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы: (левый предел) и
(правый предел). К точкам разрыва II рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.
Заметим, что точки разрыва I рода подразделяются в свою очередь на точки устранимого разрыва (когда ) и на точки скачка функции (когда
); в последнем случае разность
называется скачком функции
в точке
.
Пример
Задание 1: Вычислите односторонние пределы: 1) ;
2) .
Решение: 1) Пусть . Тогда при
функция
, а, следовательно, и
есть отрицательная бесконечно малая, поэтому функция
- отрицательная бесконечно большая, то есть
.
При функция
, а, следовательно, и
- положительная бесконечно большая функция, то есть
.
2) Пусть . Тогда при
имеем:
- отрицательная бесконечно малая функция; следовательно,
и
. Отсюда
.
Если , то при
получим:
- положительная бесконечно малая функция; следовательно,
и
, тогда
. Имеем,
.
Задание 2: Даны функции: 1) ; 2)
. Найти точки разрыва и исследовать их характер.
Решение: 1) Функция определена при всех значениях
, кроме
. Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения, состоящей из двух промежутков
и
.
Следовательно, единственной точкой разрыва является точка (функция определена в окрестности этой точки, в самой же точке нарушается условие непрерывности – функция в ней неопределена). Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы этой функции при стремлении аргумента к точке разрыва
:
,
.
Следовательно, при функция
имеет бесконечный разрыв;
есть точка II рода.
2) Рассуждая аналогично, получим, что точкой разрыва заданной функции является . Найдем односторонние пределы этой функции в точке
:
,
.
Таким образом, левый и правый пределы исследуемой функции при конечны, но не равны между собой. Поэтому
точка I рода, причем точка скачка функции.
Дата публикования: 2015-02-18; Прочитано: 341 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!