Теоретический материал. Расчет электрических цепей переменного тока значительно упрощается при использовании символического метода

Расчет электрических цепей переменного тока значительно упрощается при использовании символического метода. Расчет производится по формулам, аналогично применяемым в цепях постоянного тока, но с применением комплексных чисел

Для этого необходимо уметь представлять ток, напряжение, сопротивление, проводимость и мощность в комплексном виде.

Комплексы сопротивления и мощности различного характера приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Комплексы сопротивления и мощности

Характер цепи	Комплекс сопротивления	Комплекс мощности

- комплекс полной (кажущейся) мощности, - сопряженный комплекс тока. Модуль комплекса — полная мощность

S =UI. Аргумент φ- угол сдвига фаз между током и напряжением.

- комплекс полной мощности. Вещественная часть P - активная мощность. Мнимая часть Q - реактивная мощность.

Знак перед мнимой единицей j, в любой форме записи комплексного сопротивления и мощности, указывает на характер цепи: знак «+» указывает на индуктивный характер цепи или ветви; знак «-» указывает на емкостной характер цепи или ветви (см. табл. 5.1).

Таким образом, модули комплексного числа определяют дей­ствующие значения тока I, напряжения U, кажущееся сопротив­ление Z, мощность S.

Аргументы комплексов сопротивлений и мощностей определя­ют угол сдвига фаз φ, начальные фазы тока ѱ_I, напряжения ѱ_U.

Вещественная часть комплексов определяет активный ток I_а, активное напряжение U_a, сопротивление R, мощность Р.

Мнимая часть комплексов определяет реактивный ток I_р, ре­активное напряжение U_p, сопротивление X, мощность Q.

Комплексное число в показательной форме записи характеризу­ется модулем |A| и аргументом α (), а в алгебраической форме записи - вещественной А' и мнимой А" частями (A = A' + jA").

Пример 5.1 Участки с сопротивлениями , и соединены последовательно. Написать формулу комплексного сопротивления всей цепи в показательной форме.

Решение. Комплекс полного сопротивления .

А

Значит, , а .

Вычислить эквивалентное сопротивление параллельных ветвей (Z₂₃), общее сопротивление всей цепи (Z), токи во всех участках цепи (рис. 5.2), активную, реактивную, и полную мощности каждой ветви и всей цепи.

Рис.5.2Схема соединения

Построить векторную диаграмму (токов, напряжений) цепи, если напряжение U₂₃=80 В и сопротивления =4 Ом; =6 Ом; =16 Ом; =3 Ом; =8 Ом; =12 Ом;

Решение.

Задачу решаем символическим методом. Поэтому ее решение такое же, как при постоянном токе. Для решения не­обходимо представить сопротивления ветвей схемы в алгеб­раической и показательной формах записи комплексного числа:

;

Порядок перехода от алгебраической формы записи комплекса к показательной при помощи микрокалькулятора дан в методических указаниях

Вторая и третья ветви соединены между собой параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление определится по формуле:

Необходимо помнить, что сложение и вычитание комп­лексных чисел производится в алгебраической форме записи комплекса, а умножение и деление удобнее производить в показательной форме:

Ом

где Ом, Ом

После определения эквивалентного сопротивления схема приобретает вид (рис. 5.3)

Рисунок 5.3 Схема соединения

Из схемы, видно, что сопротивления Z₁ и Z₂₃ соединены последовательно, поэтому общее сопротивление цепи

Ток второй ветви

Вектор напряжения направляем по действительной оси, поэтому

При параллельном соединении

Ток третьей ветви

По первому закону Кирхгофа для точки 2 определяется ток первой ветви, он же равен току в неразветвленной части цепи:

Напряжение первой ветви

Напряжение, приложенное к цепи:

Мощности ветвей и мощность всей цепи:

Вт; вар;

;

Вт; вар;

Вт; вар;

;

P=1210 Вт; Q=287 вар;

Для проверки правильности определения мощностей составляется баланс мощностей:

;

;

При сравнении мощностей видно, что разница активных и реактивных мощностей незначительна, поэтому можно сделать вывод, что задача решена правильно.

Построение векторной диаграммы выполняется на комплексной плоскости. Выбирается масштаб напряжений и токов:

В/см; А/см

Длины векторов напряжений:

см; см; см;

Где ; ; модули напряжений.

Длины векторов токов

см; см; см;

где ; ; — модули токов.

Вектор напряжения направляется по вещественной положительной оси, так как начальная фаза этого вектора равна нулю. Остальные векторы напряжений и токов откладываются на комплексной плоскости с учетом их углов сдвига фаз. Векторная диаграмма показана на рис. 5.4

Рисунок 5.4 Векторная диаграмма