Истечение через малое отверстие в тонкой стенке

Рассмотрим большой резервуар с жидкостью, из которого через малое отверстие в боковой стенке вытекает струйка. Термины «большой резервуар» и «малое отверстие» означает, что эти размеры не сказываются на изменении высоты жидкости (напора) в резервуаре при вытекании из него жидкости. Термин «тонкая стенка» означает, что после сжатия струя вытекающей жидкости не касается цилиндрической поверхности отверстия.

Рассмотрим два сечения в этом резервуаре, обозначенные индексами 0 и С. Запишем уравнение Бернулли для этих условий:

.

Для описанных условий можно считать, что движения жидкости в сечении 0 нет, следовательно, скоростной напор равен нулю. Разницей нивелирных высот, из-за их малого влияния можно пренебречь. Коэффициентом в данном случае обозначено сопротивление отверстия. Этот коэффициент учитывает потери энергии жидкости на сжатие струи и трение в струйках жидкости вблизи отверстии при формировании вытекающей струи. С учетом этого уравнение примет вид:

.

После перегруппировки членов получим

.

Выразим отсюда скорость

.

Заменим скорость отношением расхода к площади живого сечения потока и вновь перегруппируем

.

Проанализируем полученное выражение. Заметим, что индекс «_с » относится к струе, и это единственный индекс, относящийся к движущейся жидкости «на выходе» рассматриваемого проходного сечения (определение приведено ниже). Опустим этот индекс. Величина - называется коэффициентом скорости. Если считать распределение скоростей в струе равномерным (), а жидкость идеальной, в которой нет потерь на трение, то коэффициент . Тогда коэффициент скорости .

Отсюда становится понятным физический смысл коэффициента скорости. Он выражает отношение действительного расхода через проходное сечение к теоретическому расходу. Действительным расходом называют расход, который на самом деле проходит через проходное сечение. Теоретический расход это такой, который мог бы протекать через проходное сечение при отсутствии потерь. Учтём, что , где - коэффициент сжатия струи. После подстановки этих обозначений в коэффициент перед знаком радикала получим . Произведение носит название коэффициент расхода. Тогда окончательно будем иметь формулу

,

или в другой форме, с учётом того, что

.

В этих формулах - разность давлений до проходного сечения и после него.

С помощью полученного выражения решается задача определения расхода для всех случаев течения жидкости под действием разности давлений. Кроме того, из данного выражения видно, что причиной течения жидкости является разность давлений. Жидкость всегда движется из области высокого давления область низкого давления. По существу приведённое выражение можно считать инженерной формой уравнения Бернулли.

При прохождении жидкости через малое отверстие происходит «смятие» струи. На немецком языке «мятие» - «drosseln». Поэтому в технике истечение через малое отверстие называют дросселированием. Гидравлический аппарат, предназначенный для дросселирования, называется дросселем, а отверстие в этом гидроаппарате называется проходным сечением.

Наиболее сложной задачей практического применения этого уравнения является определение коэффициента , значение которого зависит от степени сжатия струи и режима её течения, структуры распределения скоростей вблизи проходного сечения, которая в свою очередь зависит от формы входа в проходное сечение. Этот коэффициент определён экспериментально. Он, как и коэффициенты φ и ε, зависит от числа Рейнольдса и эти зависимости можно представить с помощью графика.

На графике буквами Re_т обозначено число Рейнольдса, посчитанное по теоретической скорости, соответствующей теоретическому расходу.

С увеличением скорости истечения и связанным с этим увеличением Re_т коэффициент скорости φ быстро нарастает и при Re_т→ ∞ стремится к значению φ =1,0. Это свидетельствует о значительном уменьшении гидравлического сопротивления отверстия за счёт снижения влияния вязкости.

Коэффициент сжатия струи ε с увеличением Re_т уменьшается и при Re_т→ ∞ стремится к значению ε = 0,6.

Коэффициент расхода μ, являясь произведением коэффициентов φ и ε, на первом этапе растёт, достигая максимального значения μ = 0,69 при Re_т ≈ 350, а затем плавно снижается до μ ≈0,6.

Таким образом, только за счёт коэффициента μ величина расхода уменьшается на 30 – 40 % относительно теоретически возможного

14. Особенности истечения из насадков.

Насадки – это присоединенные к отверстию короткие патрубки, обычно длинной l=(2:4)d, которые позволяют существенно изменять скорость и расход при истечении. Бывают: внешние и внутренние (в вертикальной и наклонной стенках) конические (сходящийся, расходящийся) колоноидальные

При истечении из внешнего цилиндрического насадка образуется вакуум, вследствие чего жидкость подсасывается из резервуара. Поэтому коэф-т расхода для насадка больше, чем для отверстия в тонкой стенке такого же диаметра mвц=0.82.

Величина вакуума в насадке может быть определена по формуле

Если Н >12…13м (t=0-50), То происходит срыв вакуума и тогда истечение их насадка происходит так же как и через отверстие в тонкой стенке.

Расчет по тем же формулам, разница в коэф-тах m,e,j.

* время частичног опорожнения открытого призматического резервуара через отверстие в тонкой стенке, за которое напор меняется от Н1 до Н2

(15)

Уравнение называется уравнением неразрывности или сплошности в дифференциальной форме для произвольного движения не6сжимаемой жидкости.

При установившемся движении уравнение неразрывности можно вывести исходя из свойств элементарной струйки, в соответствии с которым жидкость из струйки не вытекает в стороны и не притекает в нее извне, но в то же время местные скорости разные по длине струйки. Отсюда следует, что количество жидкости, притекающей к струйке в начальном сечении и вытекающей из нее в конечном сечении, равны между собой и общий объем жидкости в струйке не изменяется т. е. элементарные расходы в единицу времени:

втекает,

вытекает

и тогда

(4.4)

Выражение (4.4) и является уравнением неразрывности для элементарной струйки.

Для потока жидкости уравнение неразрывности будет иметь вид:

или

Т. е. отношение средних скоростей в сечениях потока обратно пропорционально отношению их площадей. Из этого следует, что при установившемся сечении с уменьшением площади сечения средняя скорость увеличивается и наоборот

15. Уравнение неразрывности потока жидкости.

Уравнение неразрывности жидкости. В гидравлике обычно рассматривают потоки, в которых не образуются разрывы. Если выделить в потоке два любых сечения, отстоящих друг от друга на некотором расстоянии, то можно записать:

или

где Q— расход жидкости, м³/с; v — средняя скорость в сечении при установившемся движении, м/с; S— площадь живого сечения, м²

Как следует из вышерассмотренного уравнения расход, проходящий через все живые сечения потока, неизменен, несмотря на то, что в каждом сечении средняя скорость и площадь живого сечения различны.

Уравнение называют уравнением неразрывности потока при установившемся движении.

Из уравнения получим важное соотношение

т. е. средние скорости обратно пропорциональны площадям живых сечений, которым соответствуют эти средние скорости.

Уравнение неразрывности потока — одно из основных уравнений гидродинамики. Оно выводится из уравнения неразрывности для элементарной струйки несжимаемой жидкости при установившемся движении:

где v — местные скорости в каждом живом сечении струйки, м/с; DS — площадь живого сечения элементарной струйки, м²; D Qn — элементарный расход, м³/с

Рис.- схема демонстрирующая неразрывность потока

16. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости при уста­новившемся движении. Выделим сечениями 1-1 и 2-2 отсек этой струй­ки (рис. 1.24). Высотное положение центров тяжести живых сечений относительно произвольно расположенной плоскости сравнения 00 характеризуется ординатами z₁ и z ₂. Давления в центрах сечений p ₁ и p₂, скорости u₁ и u₂ соответственно.

Рис. 1.24. Элементарная струйка идеальной жидкости при установившемся режиме движения

Условимся, что на отсек действуют только силы тяжести и силы гидродинамического давления (силы внутреннего трения отсутствуют, поскольку жидкость невязкая).

За малый промежуток времени Δt частицы жидкости из 1-1 пере­местятся в 1’-1’ на расстояние Δ l ₁ = u ₁ Δt, а частицы из 2-2 - 2’-2’ на расс­тояние Δ l ₂ = u₂Δt.

Применим теорему кинетической энергии. Согласно теореме при­ращение кинетической энергии отсека должно быть равно сумме работ всех сил, действующих на отсек, при указанном движении.

Работу производят силы тяжести и силы давления, действующие по крайним живым сечениям струйки. Направление по нормали к бо­ковым поверхностям струйки (к направлению движения) давления ок­ружающей массы невязкой жидкости работы не производят.

Приращение кинетической энергии отсека за t равно разности ки­нетических энергий элементов 1-1’ и 2-2’, так как в пределах участка 1’-2 при установившемся движении кинетическая энергия остается пос­тоянной. Тогда

Это и есть уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости при установившемся движении под действием сил тяжести.

17. Геометрический и пьезометрический смысл уравнения Бернулли

Основу теоретической части такой интерпретации составляет гидравлическое понятие напор, которое принято обозначать буквой Н, где

Гидродинамический напор Н состоит из следующих разновидностей напоров, которые входят в формулу (198) как слагаемые:

1) пьезометрический напор, если в (198) p = pизг, или гидростатический, если p? pизг;

2) U2/2g – скоростной напор.

Все слагаемые имеют линейную размерность, их можно считать высотами. Назовем эти высоты:

1) z – геометрическая высота, или высота по положению;

2) p/?g – высота, соответствующая давлению p;

3) U2/2g – скоростная высота, соответствующая скорости.

Геометрическое место концов высоты Н соответствует некоторой горизонтальной линии, которую принято называть напорной линией или линией удельной энергии.

Точно так же (по аналогии) геометрические места концов пьезометрического напора принято называть пьезометрической линией. Напорная и пьезометрическая линии расположены друг от друга на расстоянии (высоте) pатм/?g, поскольку p = pизг + pат, т. е.

Отметим, что горизонтальная плоскость, содержащая напорную линию и находящаяся над плоскостью сравнения, называется напорной плоскостью. Характеристику плоскости при разных движениях называют пьезометрическим уклоном Jп, который показывает, как изменяется на единице длины пьезометрический напор (или пьезометрическая линия):

Пьезометрический уклон считается положительным, если он по течению струйки (или потока) уменьшается, отсюда и знак минус в формуле (3) перед дифференциалом. Чтобы Jп остался положительным, должно выполняться условие