Правила диференціювання функції

Якщо - постійне число і , - деякі диференційовані функції, то справедливі наступні правила диференціювання:

1)

2)

3)

4)

5) ();

6) ();

7) якщо , , тобто складна функція, що складається з диференційованих функцій, тоді

або ;

8) якщо , тоді .

Рівняння дотичної до кривої в точці :

.

Рівняння нормалі до кривої в точці :

.

При рівняння нормалі має вид .

Ознаки зростання і спадання функції:

якщо на (а, b), то функція зростає на цьому інтервалі;

якщо на (а, b), то функція спадає на цьому інтервалі.

Точка називається точкою максимуму функції , якщо існує такий окіл точки , що для будь-якого х з цього околу виконується нерівність

Точка називається точкою мінімуму функції , якщо існує такий окіл точки , що для будь-якого х з цього околу виконується нерівність

Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму.

Необхідна умова екстремуму. Якщо функція диференційована в точці і має в цій точці екстремум, то (або не існує). Точка , в якій називається стаціонарною. Точки, в яких дорівнює 0, нескінченності або не існує, називаються критичними точками першого роду.

Достатні умови екстремуму. Якщо функція диференційована в деякому околі критичної точки , за виключенням, можливо, самої точки, і якщо при переході через :

змінює знак з „+” на „-”, то ;

змінює знак з „-” на „+”, то ;

не змінює знак, то екстремуму немає.