Змістовний модуль № 1

Розв’язання типових задач

Завдання 1. Виконати дії , над матрицями

, , , .

Розв’язання.

;

;

;

;

Відповідь: ; .

Завдання 2. Розв’язати систему лінійних рівнянь за методом Крамера.

Розв’язання. Обчислимо визначник матриці системи за правилом Саррюса:

.

Оскільки , розв’язок системи існує. Знайдемо його за формулами Крамера.

;

;

.

;

.

Відповідь: .

Завдання 3. Задано координати точок , і . Знайти:

1) координати і довжину векторів і ;

2) скалярний добуток векторів і ;

3) кут між векторами і ;

4) площу трикутника .

Розв’язання.

1) Координати векторів і обчислюємо, віднімаючи від координат кінця вектора (точки ) координати початку (точки ):

;

.

Знайдемо довжини векторів, застосовуючи наступну формулу: якщо , то

.

;

.

2) Знайдемо скалярний добуток векторів і , користуючись формулою:

якщо , , то

.

.

3) Обчислимо косинус кута між векторами і за формулою

.

.

4) Площа дорівнює від площі

паралелограма , тобто

.

Площа паралелограма знаходиться як

модуль векторного добутку векторів

і , тобто

.

Знайдемо векторний добуток векторів і :

;

тобто .

Знайдемо площу паралелограма :

(од²);

Звідси площа трикутника

(од²).

Завдання 4. Задано координати вершин трикутника : , , . Знайти:

1) рівняння сторони ,

2) рівняння висоти ,

3) довжину висоти .

Розв’язання. 1) складемо рівняння сторони , використавши рівняння прямої за двома точками: якщо пряма проходить через точки та ,

то її рівняння наступне:

.

Рівняння прямої , якщо , :

: ;

; ; ;

рівняння прямої у загальному вигляді.

2) Для того, щоб знайти рівняння висоти , приведемо рівняння сторони до рівняння з кутовим коефіцієнтом виду , виразивши з нього :

.

Рівнянням висоти є рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до прямої . Кутові коефіцієнти і двох перпендикулярних прямих пов’язані співвідношенням

.

Оскільки кутовий коефіцієнт прямої , знайдемо кутовий коефіцієнт перпендикулярної прямої :

.

Складемо рівняння висоти , використавши рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом:

.

: або загальне рівняння висоти .

(замість в рівняння прямої підставлено координати точки ).

3) Довжиною висоти є відстань від точки до прямої . Відстань від точки до прямої визначається за формулою

.

Оскільки пряма задається рівнянням , знаходимо відстань від точки до прямої за наведеною формулою:

.

Завдання 5. Задано координати точок , і . Знайти:

1) рівняння прямої , що проходить через точки та ;

2) рівняння прямої, що проходить через точку паралельно до прямої ;

3) рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до

прямої .

Розв’язання.

1) Рівняння прямої за двома точками:

.

Рівняння прямої , що проходить через точки та :

:

або

: .

2) Скористаємось канонічним рівнянням прямої, що проходить через точку та має напрямний вектор :

.

Оскільки шукана пряма паралельна до прямої , за напрямний вектор візьмемо напрямний вектор прямої , тобто вектор .

Рівняння прямої, що проходить через точку паралельно до прямої :

.

3) Рівняння площини за точкою та нормальним вектором :

.

Точка належить площині, а за нормальний вектор візьмемо напрямний вектор прямої , оскільки ця пряма і шукана площина перпендикулярні.

Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до прямої :

або

рівняння площини у загальному вигляді.

Завдання 6. Знайти границю .

Розв’язання. Безпосередня підстановка граничного значення аргументу призводить до невизначеності виду . Щоб розкрити цю невизначеність, помножимо чисельник та знаменник на добуток .

Так як і не дорівнює 3, то маємо можливість розділити чисельник і знаменник даного дробу на . Маємо:

.

Відповідь: .

Завдання 7. Знайти границю .

Розв’язання. При маємо невизначений вираз виду . Щоб знайти цю границю необхідно чисельник і знаменник поділити на найвищий ступінь , тобто , застосовуючи основні теореми про границі та властивості нескінченно малих, маємо

.

Відповідь: 9.

Завдання 8. Знайти границю .

Розв’язання. При чисельник і знаменник дробу дорівнюють нулю. Отже, безпосередня підстановка граничного значення аргументу призводить до невизначеного виразу виду . Щоб розкрити невизначеність даного виду, необхідно попередньо дріб спростити, розклавши на множники чисельник і знаменник та скоротивши дріб на спільний множник.

.

Відповідь: .

Завдання 9. Дослідити на неперервність функцію , вказати характер точок розриву.

Розв’язання. Функція визначена для всіх , крім , і є неперервною на інтервалах .

Обчислимо , , і :

.

.

.

.

.

Отже, , бо при функція є невизначеною. В точці маємо усувний розрив. В точці функція має розрив другого роду.

Відповідь: - усувний розрив; - розрив другого роду.

Завдання 10. Знайти диференціал функції .

Розв’язання. Згідно з означенням .

Отже,

.

Відповідь: .

Завдання 11. Знайти границі: а) , б) .

Розв’язання. а) Нехай , тоді границя буде мати вигляд

.

Використовуючи першу важливу границю , маємо

.

б) Маємо невизначений вираз типу Додамо до основи степеня одиницю та віднімемо одиницю. Використовуючи другу важливу границю, отримаємо:

Відповідь: а) ; б) .

Завдання 12. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Застосовуючи правило диференціювання складеної функції та частки, маємо:

.

Відповідь: .

Завдання 13. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .

Розв’язання. Похідна даної функції . Тоді при та . Обидві ці критичні точки належать інтервалу . Знаходимо значення функції в критичних точках і на кінцях відрізку: , , , . Порівнюючи отримані числа, маємо, що мінімальне значення на відрізку функція приймає в точці , максимальне значення в точці . Отже, на відрізку , а .

Відповідь: , .

Завдання 14. Знайти проміжки, на яких функція зростає та спадає.

Розв’язання. Знаходимо інтервали монотонності і точки екстремуму.

.

Для знаходження критичних точок розв’язуємо , тобто , , звідки , .

Критичні точки , , та точка поділяють область існування функції на інтервали, що вказані у наведеній нижче таблиці

x	(- , 0)		(0, 1)	(1, 2)		(2, )
Знак	+		-	-		+
Поведінка функції		max			min

Відповідь: на інтервалах (- , 0) (2, ) – функція зростає, (0, 1) (1, 2) – спадає.

Завдання 15. Знайти похідну функції і обчислити її значення, якщо .

Розв’язання. Застосовуючи правило диференціювання частки, маємо:

.

Підставивши значення в похідну, маємо: .

Відповідь: , .

Завдання 16. Дослідити функцію методами диференційного числення та побудувати її графік .

Розв’язання.

a) Область існування функції .

b) Функція не є парною або непарною, бо , тобто , .

c) Точка перетину з осями координат: .

d) Точка розриву функції . Маємо розрив другого роду, бо ; .

e) Вертикальна асимптота , бо .

Похилі асимптоти шукаємо у вигляді :

.

.

Отже, - похила асимптота.

f) Знаходимо інтервали монотонності і точки екстремуму.

.

Для знаходження критичних точок розв’язуємо рівняння , тобто , , звідки , .

Критичні точки , , та точка поділяють область існування функції на інтервали, що вказані у наведеній нижче таблиці

x	(- , 0)		(0, 2)	(2, 4)		(4, )
Знак	+		-	-		+
Поведінка функції		max			min

g) Визначаємо інтервали опуклості, угнутості та точки перегину.

, .

на інтервалі - крива опукла;

на інтервалі - крива угнута.

Точок перегину немає, бо точка , в околі якої змінюється знак другої похідної, є точкою розриву функції і не входить в область існування функції.

На основі дослідження будуємо графік

Завдання 17. Записати рівняння нормалі та дотичної до графіка в точці з абсцисою .

Розв’язання. Загальні рівняння дотичної до кривої в точці має вид: , рівняння нормалі: . Знайдемо похідну та значення функції і похідної в точці , маємо: , , .

Підставивши отримані результати в рівняння, маємо:

; - рівняння дотичної;

; - рівняння нормалі.

Відповідь: - рівняння дотичної; - рівняння нормалі.