Теоретические сведения. Пусть на интервале [a,b] рассматривается краевая задача для дифференциального уравнения 2-го порядка

Пусть на интервале [ a,b ] рассматривается краевая задача для дифференциального уравнения 2-го порядка

y¢¢+p(x)y¢+q(x)y=f(x) (34)

с краевыми условиями

, (35)

.

Построим последовательность точек приближения с шагом h:

x_n = x₀ + nh, (n =0, 1, 2, …), .

Метод стрельбы относится к одношаговым численным методам, идея которого заключается в сведении краевой задачи (34)-(35) к задаче Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка. Для этого зададим некоторое число C₁ и рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения с начальными условиями:

y¢¢=f(x,y,y¢), (36)

, y¢(a)=C₁.

Пусть – приближенное решение задачи Коши (36) на интервале [ a,b ]. Сравнивая значение полученного приближенного решения в точке x=b с заданным граничным значением В, определяем информацию для корректировки угла наклона касательной к решению новой начальной задачи с условиями

, y¢(a)=C₂,

так чтобы разница уменьшилась.

Варьирование задаваемых значений y¢(a)=C₁, C₂, … обеспечивает сходимость последовательности приближенных решений ,

k=1, 2, ….

Условие остановки итерационного процесса имеет вид:

£e, при e>0. (37)

Для расчета промежуточных значений функции y(x) рекомендуется использовать схему Рунге – Кута четвертого порядка решения задачи Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка:

y¢¢=F(x,y,y¢), (38)

[ ],

,

где

,

,

,

.

Задание для лабораторной работы выбирается из таблицы 7.

Таблица 7 – Варианты лабораторной работы № 2.5