Теоретические сведения. Экстраполяционные методы Адамса и Милна относятся к многошаговым численным методам

Экстраполяционные методы Адамса и Милна относятся к многошаговым численным методам.

Для нахождения решения дифференциального уравнения 1-го порядка y¢=f(x) с начальным условием y₀ = y(x₀) строим последовательность точек приближения с шагом h,

x_n = x₀ + nh, (n =0, 1, 2, …).

Значение приближенного решения y_n+1 можно вычислить, если известны четыре предыдущих значения приближенного решения: , , , . Данные приближения могут быть вычислены, например, по методу Рунге – Кутта.

Экстраполяционная формула Адамса для решения задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка имеет следующий вид:

y_n+1(x) = y_n+Dy_n,

, (30)

где f_i= f(x_i,y_i).

Локальная погрешность экстраполяционного метода Адамса (на одном шаге) есть величина порядка .

Вычисление приближения y_n+1 с помощью метода Милна проводится в два этапа.

1. Расчитывается первое приближение по первой формуле Милна:

. (31)

По значению определяется .

2. Рассчитывается второе приближение по второй формуле Милна:

. (32)

Оценка погрешности по второй формуле Милна имеет вид:

. (33)

Первая формула Милна является формулой прогноза, а вторая – формулой коррекции.