Закон больших чисел. Трудно сказать о том, какие значения примет случайная величина

Трудно сказать о том, какие значения примет случайная величина. Все зависит от совокупности случайных обстоятельств. Когда таких случайных обстоятельств очень много, то, оказывается, существуют условия, позволяющие предвидеть ход опыта, явления, которые получили название закона больших чисел или предельных теорем.

Если существует математическое ожидание квадрата случайной величины, то имеет место неравенство:

.

Это неравенство называется вторым неравенством Чебышева.

Первое неравенство Чебышева:

если существует , то для всех имеет место .

Выберем в качестве случайной величины центрированную случайную величину и применим к ней второе неравенство Чебышева:

.

Теорема Чебышева (закон больших чисел).

Если случайные величины в последовательности попарно независимы, а их дисперсии удовлетворяют условию , то для всех .

Теорема Маркова (закон больших чисел в общей формулировке).

Если дисперсии произвольных случайных величин в последовательности удовлетворяют условию , то имеет место утверждение .