Особенности расположения прямой относительно системы координат

Пусть прямая задана общим уравнением относительно аффинной системы координат.
Определение 4.1. Если все коэффициенты общего уравнения не равны нулю, то уравнение называется полным уравнением, а прямая, заданная полным уравнением прямой общего положения.
Если некоторые из коэффициентов общего уравнения равны нулю, то уравнение является неполным, а прямая заданная неполным уравнением имеет особенности расположения относительно системы координат.

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть относительно аффинной системы координат прямая задана уравнением . Справедливы следующие утверждения:

1. Прямая проходит через начало координат тогда и только тогда, когда ;

2. Прямая параллельна оси тогда и только тогда, когда ;

3. Прямая параллельна оси тогда и только тогда, когда ;

4. Прямая совпадает с осью тогда и только тогда, когда ;

5. Прямая совпадает с осью тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

1. Прямая проходит через начало координат тогда и только тогда, когда координаты точки удовлетворяют уравнению , т.е. тогда и только тогда, когда ;

2. Прямая параллельна оси тогда и только тогда, когда ее направляющий вектор коллинеарен вектору ;

3. Прямая параллельна оси тогда и только тогда, когда ее направляющий вектор коллинеарен вектору .

Утверждения 4., 5. непосредственно следуют из выше доказанных. Теорема доказана.