Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Определение 2.1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Таким образом, всякая прямая имеет бесконечно много направляющих векторов, любые два из которых коллинеарны.

ТЕОРЕМА 2.1. Относительно аффинной системы координат уравнение прямой , проходящей через точку с направляющим вектором , имеет вид

или

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку плоскости. Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Условием коллинеарности векторов является пропорциональность их координат (смотри Следствие 10.3. раздела "Векторная алгебра"). Таким образом приходим к равенству . Осталось заметить, что равенство является другой формой записи равенства . Теорема доказана.

Уравнение или называется каноническим уравнением прямой на плоскости.