Розглянемо рівняння

, (1)

де і – деякі дійсні числа, які не дорівнюють нулю одночасно. Рівняння (1) при будь-яких таких і є рівнянням прямої. Крім того, координати точки С задовольняють це рівняння, бо вони перетворюють в нуль кожний доданок у його лівій частині. Тому рівняння (1) є рівнянням прямих даного пучка.

Покажемо, що і для будь-якої прямої пучка можна знайти такі числа і , що рівняння цієї прямої матиме вигляд (1).

1) Якщо збігається з , то .

2) Якщо збігається з , то .

3) Нехай . Візьмемо на деяку точку , відмінну від (рис. 3.23). Поклавши , дістанемо

(3)

Ця пряма проходить через точку і через точку . Тому рівняння (3) є рівнянням прямої .

Рівняння (1) називають рівнянням пучка прямих.

Приклад. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку перетину прямих і перпендику­лярна до прямої . Система координат прямокутна декартова.

Розв’язання

Шукана пряма належить пучку прямих, що задається прямими і (рис. 3.24). Складемо рівняння цього пучка:

. (4)

Оскільки ця пряма перпендикулярна до прямої , то з умови перпендикулярності прямих дістанемо

; ; .

Нехай , тоді . Підставимо отримані значення в (4), матимемо:

.

§ 15. Застосування теорії прямої до розв’язування задач шкільного курсу геометрії

Задача 1. Дано прямокутний три­кутник АВС з катетами . Зна­й­ти довжину перпендикуляра , опущеного із вершини В на медіану , проведену з вер­шини С.

Розв’язання

Розглянемо прямокутну систему коор­динат із початком у вершині С і координат­ними осями, напрямленими вздовж катетів СА і СВ (рис. 3.25). У цій системі вершини трикутника мають такі координати: .

– середина гіпотенузи АВ, тому . Запишемо рівняння прямої . Вона проходить через точку і має напрямний вектор . Тому її рівняння . Знайдемо відстань від точки В до прямої : .

Отже, .

Задача 2. У площині трикутника АВС дано довільну точку М. Побудовано точки , симетричні точці М відносно середин сторін ВС, СА, АВ трикутника. Довести, що прямі перетинаються в одній точці.

Розв’язання

Виберемо афінну систему координат (рис. 3.26). У цій системі вершини трикутника мають такі координати: , , . Нехай – середини відповідно сторін ВС, АС і АВ. Тоді Нехай . – середина відрізка . Маючи координати точок і , легко знайти координати х, у точки : , звідки . Отже, . Аналогічно знайдемо координати точок В ₁ і С ₁: .

Запишемо рівняння прямих і :

Знайдемо координати точки О перетину прямих і , розв’язавши систему рівнянь:

.

Підставимо координати точки О в рівняння прямої і переконаємося, що пряма також проходить через точку О:

.

Отже, прямі і перетинаються в одній точці, що й треба було довести.

Задача 3. Знайти множину центрів мас трикутників, дві вершини яких фіксовані, а треті вершини лежать на даній прямій .

Розв’язання

Нехай А і В – дані вершини трикутників, – пряма, на якій лежать треті вершини (рис. 3.27) Якщо точки А і В фіксовані, то фіксована і точка – середина відрізка . Нехай афінна система координат вибрана таким чином, що вісь напрямлена вздовж прямої . Тоді координати вершини С мають вигляд: . Нехай .

Центр мас трикутника лежить у точці О перетину його медіан. Тому . Позначимо координати точки через . Тоді . Звідси випливає, що коли пробігає множину дійсних чисел, то і пробігає множину всіх дійсних чисел, а залишається сталим. Тому множина центрів мас таких трикутників лежить на прямій, паралельній даній прямій .

Пропонуємо самостійно розв’язати такі задачі:

Задача 4. Довести, що пряма, яка проходить через середини основ трапеції, проходить через точку перетину прямих, які містять бічні сторони.

Задача 5. Довести, що висоти трикутника перетинаються в одній точці.

Задача 6. Обчислити висоту ромба, якщо довжини його діагоналей дорівнюють а і b.