Очевидно, друга півплощина визначається нерівністю

(4)

Таким чином, якщо в афінній системі координат пряма задається рівнянням (1), то півплощини з межею визначаються нерівностями (3) і (4).

Приклад. Чи перетинає пряму відрізок , якщо ?

Розв’язання

Перевіримо, в одній чи різних півплощинах відносно даної прямої лежать точки і . Підставивши у ліву частину рівняння прямої координати точок і , дістанемо

.

Отже, точки і лежать в одній півплощині, тому відрізок не перетинає дану пряму.

§ 12. Відстань від точки до прямої

Нехай пряма задана у прямокутній системі координат рівнянням

і хай – точка, яка не належить даній прямій (рис. 3.19). Знайдемо відстань від точки до прямої .

, де – основа перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .

Нехай . Розглянемо вектори і нормальний вектор прямої . Оскільки і , то . Тоді , звідки

.

Оскільки , то остання формула записується так:

. (1)

Це і є формула відстані від точки до прямої у прямокутній системі координат.

Приклад. Вершини трикутника АВС задані своїми координатами в прямокутній системі координат: . Знайти довжину висоти трикутника, проведеної із вершини В.

Розв’язання

Довжина висоти трикутника, проведеної із вершини В, дорівнює відстані від точки В до прямої АС. Запишемо рівняння прямої АС:

; .

Знайдемо відстань від точки В до прямої АС за формулою (1):

.

§ 13. Кут між двома прямими

Кутом між двома прямими називається менший з кутів, утворених при

перетині цих прямих (рис. 3.20):

Введемо поняття напрямленого кута між прямими на орієнтованій площині.

Означення 13.1. Напрямленим кутом між прямими і називається кут повороту від прямої до прямої по найкоротшому шляху. Якщо цей поворот виконується проти годиннико­вої стрілки, то напрямлений кут між прямими додатний; якщо ж – за годинниковою стрілкою, то – від’ємний.

Орієнтація кута залежить від того, яка з прямих перша, а яка друга. Величина напрямленого кута змінюється в межах: (рис. 3.21).

Якщо прямі не перпендикулярні, то і для знаходження орієнтованого кута досить знайти його тангенс.

Нехай прямі і задані в прямокутній системі координат рівняннями

Напрямними векторами прямих і є відповідно і . Можливі два випадки:

1) (рис. 3.22 а)). Тоді, очевидно, .

2) (рис. 2.22 б)). Тоді = .

а1

r

Рис. 3.22 а) Рис. 3.22 б)

Отже, у кожному з випадків .

Для знаходження орієнтованого кута між векторами використаємо формули (1), (2), § 5, розділ ІІ:

;

Тоді

. (1)

Прямі l ₁ і l ₂ будуть паралельними тоді і тільки тоді, коли їх напрямні вектори колінеарні, при цьому , що можливо тільки тоді, коли , тобто коли координати цих векторів пропорційні.

Прямі і будуть перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли перпендикулярні їхні напрямні вектори, тобто коли , або

. (2)

Якщо прямі і задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом:

то їхні напрямні вектори мають відповідно координати: .

У цьому випадку формула (1) запишеться так:

. (3)

Прямі перпендикулярні, якщо , тобто

. (4)

і паралельні, якщо , тобто (5)

Приклад. Знайти напрямлений кут між прямими і .

Розв’язання

За формулою (1)

;

Отже, .

§ 14. Пучок прямих

Означення 14.1. Сукупність прямих, які перетинаються в одній точці, називається пучком прямих з центром у цій точці (рис. 3.23).

Щоб задати пучок прямих, досить задати або його центр, або які-небудь дві прямі цього пучка.

Нехай пучок задано прямими

які перетинаються в точці С.