![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки М 1(1;3), М 2(1;-1).
Розв’язання
За рівнянням (1) .
§3. Параметричні рівняння прямої
Нехай в афінній системі координат пряма
задана напрямним вектором
і точкою М о (х о ,у о ) (рис. 3.3). Точка М(х,у)
l тоді і тільки тоді, коли
. Отже, існує таке число t, що
, звідки
Ці рівняння називають параметричними рівняннями прямої. Тут t – параметр, .
Приклад. Записати параметричні рівняння прямої, що проходить через точки М 1(1;-2) і М 2(3;-2).
Розв’язання
Напрямним вектором шуканої прямої є вектор . Отже параметричні рівняння цієї прямої можна подати у вигляді:
§4. Рівняння прямої у відрізках на осях
Нехай пряма l перетинає обидві координатні осі деякої афінної системи координат у точках А(а, 0 ), В( 0 ,b) відповідно, відмінних від початку координат (рис. 3.4). Запишемо рівняння цієї прямої як рівняння прямої, заданої двома точками (§2):
Це і є рівняння прямої у відрізках на осях; a і b – числа, які з точністю до знака дорівнюють довжинам відрізків, які пряма відтинає на відповідних координатних осях. У цьому розумінні говорять, що а, b – відрізки, які пряма відтинає на координатних осях.
Ще раз підкреслимо, що у такому вигляді можна записати рівняння лише тих прямих, які перетинають обидві координатні осі і не проходять через початок координат.
Приклад. Дано пряму 2 х+ 3 у- 6=0. Записати її рівняння у відрізках на осях і виконати відповідний малюнок.
Розв’язання
– рівняння у відрізках на осях (рис. 3.5).
§5. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Нехай в афінній системі координат ОXY пряма l перетинає вісь ординат (рис. 3.6). Припустимо, що ця пряма задана напрямним вектором
і точкою
. Тоді її рівняння
.
Оскільки пряма l не паралельна осі ОY, то вектор не паралельний
, а тому
і рівняння прямої запишеться у вигляді:
. (1)
Позначимо . Тоді рівняння (1) матиме вигляд
(2)
Число k називається кутовим коефіцієнтом прямої.
Якщо пряма задана в прямокутній системі координат, то кутовий коефіцієнт має простий геометричний зміст. Позначимо через
орієнтований кут між векторами
і
(рис. 3.7). Тоді
звідки
.
Таким чином, k у рівнянні (2) є тангенсом орієнтованого кута між віссю ОX і вектором .
Легко переконатися, що , де
– орієнтований кут між додатним напрямом осі ОX і прямою l (рис. 3.8 а) б)), тобто кут обертання від осі ОX до прямої l в напрямку проти годинникової стрілки.
![]() |
Рівняння (2) називається рівнянням прямої, заданої кутовим коефіцієнтом і точкою.
Якщо в ролі точки М о (х о ,у о ) взяти точку М о ( 0; b) перетину прямої l з віссю OY, то рівняння (2) набуде вигляду
y=kx+b (3)
Це рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.
Якщо система координат прямокутна декартова, то число k – це тангенс орієнтованого кута між віссю ОX і прямою l, а b з точністю до знака дорівнює довжині відрізка, який відтинається прямою l на осі OY.
Приклад. Скласти рівняння прямої, яка: а) проходить через точку М(1,2) і утворює з додатним напрямком осі ОX орієнтований кут 45о (система координат прямокутна декартова); б) проходить через точку В(0;-1) і має кутовий коефіцієнт k= 2.
Розв’язання
а) Із геометричного змісту кутового коефіцієнта k= =1. Використавши рівняння (2), матимемо:
у -2=1 (х -1 ); у=х +1.
б) Оскільки абсциса точки В дорівнює 0, то використаємо рівняння (3). Тоді b =-1, і пряма має рівняння у= 2 х -1.
§6. Рівняння прямої, заданої точкою і нормальним вектором
Нехай у деякій прямокутній декартовій системі координат ОXY задана точка М о (х о ,у о ), через яку проходить пряма l, і вектор
, перпендикулярний до цієї прямої (рис. 3.9). Вектор
будемо називати нормальним вектором прямої. Точка М(х,у) належить прямій l тоді і тільки тоді, коли
, тобто коли
, звідки
(1)
Одержане рівняння – це рівняння прямої, заданої точкою і нормальним вектором.
Приклад. Записати рівняння прямої в прямокутній декартовій системі координат, якщо вона проходить через точку А( 0,-5 ) і перпендикулярна до прямої, заданої точками М 1 ( 1,3 ) і М 2 ( 2,0 ).
Розв’язання
Вектор є нормальним вектором цієї прямої. Підставивши в (1) відповідні координати, матимемо:
.
§7. Загальне рівняння прямої
Нехай у деякій афінній системі координат пряма задана точкою М о (х о ,у о ) і напрямним вектором тоді її рівняння
.
Розкриємо дужки і зведемо подібні доданки:
.
Позначивши , дістанемо
(1)
Отже, будь-яка пряма в афінній системі координат задається рівнянням 1-го степеня (а і b одночасно не дорівнюють нулю, бо ). Тому пряма є алгебраїчною лінією 1-го степеня.
Справедливе і обернене твердження:
Теорема 7.1. Лінія на площині, задана в афінній системі координат рівнянням 1-го степеня
(1)
де , є пряма з напрямним вектором
.
Доведення. Нехай лінія на площині, задана рівнянням (1), а М(х о ,у о ) – її точка. Тоді
. (2)
Віднявши (2) від (1), дістанемо
,
а це рівняння, як ми довели раніше, визначає пряму з напрямним вектором (-b,а), яка проходить через точку М(х о ,у о ).
Отже, будь-яка лінія, задана рівнянням (1), де , є прямою з напрямним вектором
. Теорему доведено.
Рівняння (1) називається загальним рівнянням прямої. Напрямний вектор цієї прямої – .
Якщо рівняння (1) розглядається відносно декартової прямокутної системи координат, то вектор буде нормальним вектором цієї прямої, бо
, тобто
.
Приклад. У прямокутній системі координат пряма задана рівнянням 2 х- 3 у +2=0. Записати рівняння прямої, перпендикулярної до даної, що проходить через точку А (1;2).
Розв’язання
1-й спосіб.
Очевидно, що напрямний вектор даної прямої l є нормальним вектором шуканої прямої l (рис.3.10). За формулою (1) §6 маємо:
;
.
2-й спосіб.
Нормальний вектор даної прямої є напрямним вектором шуканої. За формулою (2) §1 маємо:
.
§ 8. Нормальне рівняння прямої
Нехай у прямокутній декартовій системі координат ОХY задана пряма l. Через початок координат проведено вектор нормалі
до прямої l і позначимо через
– орієнтований кут нахилу його до осі ОХ, Р – точка перетину
з l, р – довжина відрізка ОР. Нехай М(х, у) – довільна точка на прямій l (рис. 3.11). Для складання рівняння прямої l використаємо перпендикулярність векторів
і
, скалярний добуток яких дорівнює нулю.
Оскільки ,
,
то ,
Звідки ,
або
Одержане рівняння називається нормальним рівняння прямої.
У цьому рівнянні завжди як відстань від початку О до прямої l, а коефіцієнти біля змінних х і у такі, що сума їх квадратів дорівнює одиниці
.
Наприклад, рівняння є нормальним рівняння прямої.
З’ясуємо, який зв’язок між коефіцієнтами нормального і загального рівняння прямої. Рівняння і
є дві різні форми рівняння тієї самої прямої, тому коефіцієнти цих рівнянь пропорційні:
.
Звідси ,
;
.
Оскільки , то коефіцієнт пропорційності
Знак має бути протилежним знаку с, бо
.
Число називається нормуючим множником загального рівня прямої, за його допомогою загальне рівняння можна звести до нормального виду. Для цього досить всі члени загального рівня помножити на число
, взяте із знаком, протилежним знаку вільного члена с.
Приклад. Пряма задана загальним рівнянням . Звести це рівняння до нормального.
Розв’язання
Нормуючим множником буде число , взяте із знаком плюс, оскільки вільний член даного рівняння має знак мінус. Помноживши всі члени даного рівняння на множник
, дістанемо нормальне рівняння даної прямої
.
Справді, .
§ 9. Розміщення прямої відносно системи координат
Нехай в афінній системі координат ОXY задана пряма своїм рівнянням
. (1)
Вияснимо особливості її розміщення відносно системи координат в залежності від поведінки коефіцієнтів .
1) .
Тоді рівняння (1) матиме вигляд
. (2)
Пряма проходить через початок координат (рис. 3.12).
2) .
Рівняння (1) матиме вигляд:
(3)
Напрямний вектор такої прямої , тому пряма паралельна осі ОX (рис. 3.13). Рівняння (3) можна записати у вигляді
, або
, де
.
3) .
. (4)
Напрямний вектор , тому пряма (4) паралельна до осі ОY (рис. 3.14). Рівняння (4) можна переписати так:
, де
.
![]() |
а)
б)
в)
г)
Розв’язання
а) Рівняння типу (4), тому пряма паралельна осі ОY;
б) пряма проходить через початок координат;
в) пряма 3 х= 0 або – це вісь ОY;
г) – паралельна осі ОX.
§ 10. Взаємне розміщення двох прямих на площині
Нехай відносно деякої афінної системи координат на площині задано дві прямі:
,
.
Вияснимо аналітичні умови взаємного розміщення цих прямих.
1) Прямі перетинаються тоді і тільки тоді, коли їх напрямні вектори неколінеарні. Але
||
тоді і тільки тоді, коли їх координати не пропорційні:
(1)
Отже, якщо виконана умова (1), то прямі перетинаються (рис. 3.15).
2) Прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли їх напрямні вектори і
колінеарні, тобто коли їх координати пропорційні. При цьому коефіцієнт пропорційності не повинен дорівнювати відношенню вільних членів:
, (2)
бо в противному разі прямі збігатимуться.
3) Прямі збігаються тоді і тільки тоді, коли їх напрямні вектори колінеарні, тобто їх координати пропорційні, і коефіцієнт пропорційності дорівнює відношенню вільних членів:
(3)
Дійсно, у цьому випадку одне з рівнянь утворюється почленним множенням другого на деяке число і, отже, виражає ту ж саму пряму.
Приклад. При яких значеннях коефіцієнтів і
прямі
і
збігаються?
Прямі збігаються тоді і тільки тоді, коли виконується умова (3), тобто , звідки
.
§ 11. Умови, що визначають півплощину
Геометричний зміст лінійної нерівності з двома змінними
Нехай пряма задана в афінній системі координат загальним рівнянням
. (1)
Ця пряма розділяє площину на дві півплощини. Знайдемо умови, які визначають ці півплощини.
Нехай (рис. 3.18). Відкладемо від точки
вектори
, тому
, тому
і
.
Позначимо через півплощину з межею
, яка містить точку
. Нехай
– довільна точка. Вона належатиме півплощині
тоді і тільки тоді, коли базиси
і
матимуть однакову орієнтацію. Але базис
має праву орієнтацію, бо
.
Тому тоді і тільки тоді, коли
.
Оскільки , то остання нерівність запишеться так:
,
або
(2)
Точка , тому
, звідки
. Тоді нерівність (2) набуває вигляду
. (3)
Ця нерівність визначає півплощину .
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 887 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!