Теоремы о равносильности уравнений

Преобразование уравнения в равносильное основано на следующих двух теоремах.

Теорема 1. Пусть уравнение f (х) = j(х) определено на некотором множестве А, w(х) – выражение, определенное на этом множестве А (или на множестве В таком, что А Í В), тогда уравнения

f (х) = j(х) (1)

и f (х) + w(х) = j(х) + w(х) (2)

равносильны.

Доказательство. Обозначим Е ₁ множество решений (1), Е ₂ – множество решений (2). Докажем, что Е ₁ = Е ₂.

1) Пусть а – произвольное решение уравнения (1), т.е. аÎ Е ₁, тогда f (a) = j(a) верное числовое равенство. Т.к. а Î Е ₁ Í А Þ а Î А, то w(а) – числовое выражение. Прибавим к обеим частям верного числового равенства f (a) = j(a) числовое выражение w(а).

Получим f (a) + w(а) = j(а) + w(а) – верное числовое равенство, значит а является решением (2) и а Î Е ₂.

Итак, мы доказали, что (" а Î Е ₁ Þ а Î Е ₂) Þ Е ₁ Í Е ₂.

2) Пусть в Î Е₂, т.е. f (в) + w(в) = j(в) + w(в) – верное числовое равенство. Тогда верно и следующее числовое равенство

(f (в) + w(в)) – w(в) = (j(в) + w(в)) – w(в) или f (в) = j(в).

Это означает, что в Î Е_1. Мы доказали, что (" в Î Е ₂ Þ в Î Е ₁) Þ
Þ Е ₂ Í Е _1. Итак, Е ₁ Í Е ₂ Ù Е ₂ Í Е ₁ Þ Е ₁ = Е ₂.

Следствия.

1) Если к обеим частям уравнения прибавить одно и тоже число (два выражения с равными значениями), то получим уравнение, равносильное исходному.

2) Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное исходному.

Теорема 2. Пусть уравнение f (х) = j(х) определено на некотором множестве А и w(x) выражение, определенное на этом множестве А (или на множестве В таком, что А Í В и удовлетворяет условию
(" x Î А) w(x) ¹ 0, т.е. не обращающееся в нуль ни при каком значении x из X),тогда уравнения f (х) = j(х) и f (x) · w(x) = j(x) · w(x) – равносильны.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.

Следствия.

1) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное исходному.

2) Если поменять знаки обеих частей уравнения на противоположные, то получим уравнение, равносильное исходному.

При решении уравнений применяется также метод разложения на множители.

Предположим, что выражения f ₁(x), f ₂(x), …, f_n (x) имеют значения при всех х Î Х, тогда число а Î Х может быть корнем уравнения

f ₁(x) · f ₂(x) · f ₃(x) · … · f_n (x) = 0 в том и только в том случае, когда хотя одно из выражений f ₁(x), f ₂(x), …, f_n (x) обращается в 0 при х = а. Это значит, что уравнение f ₁(x) · f ₂(x) · f ₃(x) · … · f_n (x) = 0 равносильно дизъюнкции уравнений f ₁(x)= 0 Ú f ₂(x) = 0 Ú … Ú f_n (x) = 0.

Например, уравнение х (х – 4) (х + 6) (х – 8) = 0 равносильно дизъюнкции уравнений х = 0 Ú х – 4 = 0 Ú х + 6 = 0 Ú х – 8 = 0, и потому множеством его решений является {0; 4; –6; 8}.