Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств

Определение. Два числовых выражения А и В, соединенных знаком «>» (больше) или «<» (меньше) образуют числовое неравенство. Неравенства А > B и C > D (или А < B и C < D) называются неравенствами одинакового смысла (знака), а неравенства А > B и C < D (или А < B и C > D) – неравенствами противоположного смысла.

С логической точки зрения числовое неравенство представляет собой высказывание И или Л. Например: 12 · 3 > 10 – И; 12 + 14 < 15 – Л. К числовым неравенствам применимы логические операции, в частности, можно образовать конъюнкцию и дизъюнкцию числовых неравенств:

(2 < 3) Ù (5 < 3) – Л; (3 < 5) Ú (1 + 1 > 3 + 1) – И.

Неравенство А £ В является дизъюнкцией равенства А = В и неравенства А < В, т.е. А £ В Û (А < B) Ú (А = В), например,

(2×4 + 15) × 2 £ 35 + 19 – И.

Двойное неравенство А < В < С является конъюнкцией неравенств А < В и В < С. Оно истинно в том и только в том случае, когда истинны оба эти неравенства. Например, рассмотрим конъюнкцию неравенств (25 < 18 + 17 × 2) Ù (18 + 17 × 2 < 100). Её можно переписать в виде двойного неравенства: 25 < 52 < 100. Прежде всего отметим, что неравенство («<», «>») обладает свойствами отношения строгого порядка:

1°. Антирефлексивность (" А) [ ],

(" А) [ ];

2°. Антисимметричность (" А, В) [ А < В Þ ],

(" А, В) [ А > В Þ ];

3°. Транзитивность (" А, В, С) [ А < В Ù В < С Þ А < С ],

(" А, В, С) [ А > В Ù В > С Þ А > С ].

В свойствах 1°–3° А, В, С – любые числовые выражения.

Кроме приведенных выше свойств 1°–3° в качестве основных примем следующие свойства для любых двух действительных чисел x и y:

1) , причем имеет место одно и только одно из отношений x = y, x > y, либо y>x;

2) (" х, у) [ x < y Û y – x > 0];

3) (" х, у) [ x > 0 Ù y > 0 Þ x + y > 0 Ù x × y > 0].

Заметим, что неравенство y > x эквивалентно неравенству x < y – оба неравенства одновременно истинны или ложны. Знаки «>» и «<» взаимно обратны.

Из указанных выше свойств 1)-3) можно вывести для любых числовых выражений x, y, a, в все остальные свойства числовых неравенств.

1°. (" x, y, a) [ x < y Þ x + a < y + a ].

Доказательство. x < y Û y – x > 0 Þ (y + a) – (x + a) = y – x > 0 Þ

Þ x + a < y + a. Точно также x – a < y – a.

2°. (" x, y, a, в) [ x < y Ù a < в Þ x + a < y + в ].

Доказательство. x < y Þ y – x > 0, a < в Þ в – а > 0.

(у – х) + (в – а) = (у +в) – (х +а)> 0 Þ х +а< у +в.

3°. (" х, у, а > 0) [ х < у Þ х · а < у · а ].

Доказательство.

х < у Þ у – х > 0 Þ а (у – х) > 0 Þ ау – ах > 0 Þ ау > ах Û ах < ау.

4°. (" х > 0, " у > 0, " а > 0, " в > 0) [ х < у Ù а < в Þ ах < ву ].

Доказательство. х < у Ù а > 0 Þ (у – х)× а > 0 Û х · а < у · а.

а < в Ù у > 0 Þ ау < ву. (ха < уа) Ù (уа < ву) Þ ха < ув Û ах < ву.

5°. (" х, у)[ х < у Þ –х > –у ].

Доказательство. х < у Þ у – х > 0. у – х = (– х) – (– у) > 0 Þ – х > – у.

6°. (" х, у, а < 0) [ х < у Þ ах > ау ].

Доказательство. х < у Þ · х< · у Þ – · х > – · у, т.е.

ах > ау.

7°. (" х, у Ù 0 < х < у либо х < у < 0) [ < ].

Доказательство. – = , в полученной дроби числитель у – х > 0 и знаменатель х · у > 0, значит > 0 и > .