Числовые равенства. Свойства числовых равенств

Определение. Два числовых выражения А и В, соединенных знаком = (равно), образуют числовое равенство А = В.

Запись А = В надо понимать в смысле совпадения числовых значений выражений А и В, например, 5 · 2 + 7 = 3 + 4 + 50: 5.

С логической точки зрения всякое числовое равенство это высказывание, принимающее одно из двух значений – И или Л, например, (5 + 2) × 4 = 4 × 7 – И, (5 + 2) × 4 = 25 – Л.

Т.к. числовые равенства это высказывания, то к ним применимы все операции над высказываниями:

Например, (2 × 3 + 1 = 7) Ù (7 = 2 × 3 + 1) – И,

(2 × 3 + 1 = 7) Ú (8 + 1 = 19) – И.

Два числовых выражения называют равными, если равны их числовые значения.

Отношение равенства числовых выражений обладает следующими свойствами:

1°.Рефлексивность:

(" А) А = А, где А – любое числовое выражение;

2°. Симметричность:

(" А, В) А = В Þ В = А, где А и В – любые числовые выражения;

3°. Транзитивность:

(" А, В, С) А = В Ù В = С Þ А = С, где А, В, С – любые числовые выражения.

Выполнение свойств 1°–3° означает, что на множестве числовых выражений с введенным отношением равенства задано отношение эквивалентности.

Из этих трех свойств вытекают следующие свойства:

(" A, B, C, D) [ A = B Ù С = D Þ A + С = B + D ]

(" A, B, C, D) [ A = B Ù С = D Þ A – С = B – D ]

(" A, B, C, D) [ A = B Ù С = D Þ A · С = B · D ]

(" A, B, C, D) [ A = B Ù С = D Þ A: С = B: D ], если Зн (С) ¹ 0,
Зн (D) ¹ 0, т.е. два числовых выражения можно почленно складывать, вычитать, умножать, делить при Зн (С)¹0, Зн (D) ¹ 0.

Здесь А, В, С, D – числовые выражения. Доказательство этих свойств читателю предлагается выполнить самостоятельно.

В начальном курсе математики рассматривают числовые равенства, например, такие:

1) Расставь скобки так, чтобы равенства были верными

15 – 6 × 2 = 18; 4 × 8 – 5 = 12; 3×6 – 2 = 12 и т.д.

2) Вместо * поставьте знак действия так, чтобы получилось верное равенство 3*1 = 3; 16*8 = 2 и т.д.

3) Найди неизвестный компонент числового выражения.

В начальных классах истинные числовые равенства называют верными числовыми равенствами, ложные – неверными. Эти понятия помогают учащимся не только совершенствовать вычислительные навыки, но и глубже изучать теоретический материал.