Вопрос 17.Неравенства с одной переменной

Определение. Неравенства вида: ¦(x) < j(x), x Î X, ¦(x)>j(x),
x Î X, содержащие одну переменную называют неравенствами с одной переменной.

С логической точки зрения они являются одноместными предикатами. Решить такое неравенство означает найти множество Т чисел, при подстановке которых вместо x получаются истинные числовые неравенства.

Рассмотрим два неравенства x > 5 (1) и x > 3 (2), ясно, что каждое решение первого неравенства удовлетворяет второму неравенству. В таком случае говорят, что второе неравенство является следствием первого.

Обозначим Е ₁ – множество решений неравенства (1),

т.е. Е ₁ = (5,+¥), Е ₂ – множество решений неравенства (2),

т.е. Е ₂ = (3, +¥). Тогда можно записать Е ₁ Ì Е ₂.

Если два неравенства имеют одно и то же множество решений, их называют равносильными. В этом случае каждое неравенство является следствием другого. Например, а > 5, а – 1 > 4 – равносильны. Поскольку неравенства, содержащие x, являются предикатами, можно говорить об их конъюнкции и дизъюнкции. Рассмотрим пример:
x + 2 > 6 Ù 2 x + 1 < 13, эту конъюнкцию можно записать так:

Итак, конъюнкция неравенств является в алгебре системой неравенств.

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Для приведенной системы это (4, +¥) (–¥, 6) = (4, 6).

Рассмотрим пример: x > 2 Ú x < 5 Ú x < 1, эту дизъюнкцию неравенств можно записать так:

Итак, дизъюнкция неравенств является в алгебре совокупностью неравенств. Решением совокупности является объединение множеств решений каждого из неравенств.

Решением первого неравенства является (2, +¥), второго (–¥, 5), третьего (–¥, 1), т.к. дизъюнкция истинна, если при этом значении истинно хотя бы одно из неравенств, то множество решений данной совокупности совпадает с R.

Теорема 1. Читается так же как теорема 1 о равносильности уравнений, в силе и все следствия из теоремы 1.

Теорема 2. Пусть неравенство ¦(x) < j(x) определено на некотором множестве А и w(x) выражение, определенное на этом же множестве А (или на В, таком, что А Í В), тогда

1) если (" x Î А) (w(x) > 0), то неравенства

¦(x) < j(x) (1)

и ¦(x) × w(x) < j(x) × w(x) (2)

равносильны;

2) если (" x Î A)(w(x) < 0), то неравенства

¦(x) < j(x) (1')

и ¦(x) × w(x) > j(x) × w(x) (2')

равносильны.

Доказательство пункта 1).

Обозначим через Е ₁ и Е ₂ множества решений неравенств (1) и (2) соответственно. Докажем, что Е ₁ = Е _2.

1. Пусть а произвольное решение неравенства (1), т.е. а Î Е ₁, тогда высказывание ¦(а) < j(а) истинно, а Е ₁ Í А, w(а) – числовое выражение, причем w(а) > 0, тогда по свойству числовых неравенств высказывание

¦(а) × w(а) < j(а) × w(а) истинно, а это означает, что а Î Е₂ и Е₁ Í Е₂.

2. Пусть теперь в Î Е₂, т.е. ¦(в) × w(в) < j(в) × w(в) – истинное высказывание, т.к. w(в) > 0, то по свойству числовых неравенств можно записать (¦(в) × w(в)) × 1 / w(в) < (j(в) × w(в)) × 1 / w(в) или ¦(в) < j(в) истинно, а это означает, что в Î Е ₁ и Е ₂ Í Е _1.

Итак, Е ₁ Í Е ₂ и Е ₂ Í Е ₁, значит Е ₁ = Е _2.

Доказательство пункта 2) теоремы аналогично.

Следствия из теоремы 2:

1) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получим неравенство, равносильное исходному.

2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число и при этом поменять знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное исходному.

3) Если поменять знаки обеих частей неравенства и знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное исходному.