График дробно-линейной функции

Определение. Дробно-линейной функцией называется функция вида y = , где коэффициенты a, b, c, d – действительные числа.

Область определения этой функции есть всё множество действительных чисел, кроме числа равного – . Множество значений функции есть множество всех действительных чисел, кроме .

Эта функция представляет собой частное двух линейных функций. Дробно-линейная функция сводится к линейной функции при
с = 0, а d ¹ 0 и к постоянной при ad = bc. При a = d = 0, с ¹ 0 из дробно-линейной функции получается обратная пропорциональная зависимость, выражаемая формулой , где .

Покажем, что график дробно-линейной функции

y = (1)

при с ¹ 0 и ad – bc ¹ 0 получается из графика обратной пропорциональности параллельным переносом осей координат.

Преобразуем сначала уравнение

.

Для построения графика используем описанный в §10 II способ.

Значит, для построения графика заданной функции надо перенести начало координат в точку О ¢ (– ; и построить график обратной пропорциональности y ¢ = , где k = .

П р и м е р. Постройте график функции .

Найдем координаты нового начала координат О ¢ = , получим О ¢ = (1; 1). Подсчитаем значение , получим k = 1, тогда в новой системе координат x ¢ O ¢ y ¢ . Построим график этой функции в системе координат x ¢ O ¢ y ¢ (рис. 30).

Рис. 30