 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Решение типовых задач 4 страница
|
|
Имеем тождество: h (x 1, x 2, x 3)= 
с неопределенными коэффициентами a и b.
Для нахождения a и b будем подставлять в это тождество различные числовые значения переменных x 1, x 2, x 3. При этом удобнее подставлять такие значения, для которых некоторые из многочленов 
, 
, 
равны нулю.
Так при x 1=1, x 2=1, x 3=0 имеем =2, =1, 
=0, h (x 1, x 2, x 3)=4. Следовательно, 4=8+2 a, отсюда a = –2 и h (x 1, x 2, x 3)= 
.
Положим теперь x 1=1, x 2=1, x 3= –2. Тогда h (x 1, x 2, x 3)=0, 
=0, 
= –2. Имеем: 0= –2 b или b =0. Следовательно, h (x 1, x 2, x 3)= 
. Окончательно: f (x 1, x 2, x 3)= 
, где 
, 
, 
.
Задача 22.Вычислить значения симметрической функции f от корней уравнения 
, если
, 
.
Решение. Выразим f через элементарные симметрические многочлены. Многочлен f – однородный симметрический многочлен степени 4. Высший член многочлена f равен 
. Ему соответствует система показателей 3, 1, 0. Теперь нетрудно написать системы показателей, соответствующие высшим членам многочленов, которые, возможно придется вычитать из f. Это будут: 3, 1, 0; 2, 2, 0; 2, 1, 1. Следовательно, 
, где b, c – неопределенные коэффициенты. Определим их, подставляя в последнее тождество вместо x 1, x 2, x 3 некоторые числовые значения:
| x 1 | x 2 | x 3 | f | σ 1 | σ 2 | σ 3 |
Получим систему уравнений относительно неизвестных b, c:
.
Итак, 
.
Пусть x 1, x 2, x 3 – корни уравнения . По формулам Виета:
.
Подставляя вместо σ1, σ2, σ3 их значения, получим:
.
Ответ: 
.
Задача 23.Составить многочлен, имеющий своими корнями кубы корней многочлена 
.
Решение. Обозначим корни многочлена 
через 
. Тогда корнями искомого многочлена 
будут числа 
и 
. По теореме Виета 
, 
. Рассматривая выражения 
и 
как многочлены от переменных 
представим их через основные симметрические многочлены 
:
Если теперь переменным придать значения корней данного уравнения, то получим 
.
Отсюда имеем
.
Итак, 
.
Задача 24.Найти сумму пятых степеней корней 30-й степени из 1.
Решение. Искомая сумма – это симметрический многочлен f от тридцати неизвестных: 
, где 
– один из тридцати корней уравнения 
. Выразим многочлен f через элементарные симметрические многочлены. f – однородный симметрический многочлен степени 5. Высший его член равен 
. Ему соответствует система показателей 
.
Напишем системы показателей высших членов, которые, возможно, придется вычитать из f. Это будут
Здесь в любой степени показателей всего 30 цифр и их сумма равна 5. Следовательно, 
. (*)
По формулам Виета:
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 212 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
