Решение типовых задач 2 страница

Решение.

1) Проверим, является ли корнем многочлена .

2) Проверим, является ли корнем первой производной многочлена

. , поэтому – корень

многочлена , кратности не меньше 2.

3) , , поэтому корень кратности не меньше 3.

4) , корень многочлена кратности 3, т.е. . Чтобы найти многочлен наибольшей степени с простыми корнями, каждый корень которого является корнем , нужно в многочлене избавиться от кратных корней. Для этого разделим многочлен на наибольший общий делитель многочленов и : . Поэтому искомый многочлен будет , где , – простые корни многочлена.

Примечание: Кратность корня можно было проверить по схеме Горнера.

Задача 11. Отделить кратные множители многочлена

.

Решение. По теореме о кратных множителях: если некоторый неприводимый над полем Р многочлен является k- кратным множителем многочлена с коэффициентами из поля Р, то является – кратным множителем производной . Таким образом, при переходе от к кратность всех множителей понижается на 1. Однако у многочлена могут быть и такие множители, которых нет у . Чтобы избавиться от них мы найдем НОД и . В него будут входить только те множители, которые входят в , однако с меньшей на 1 кратностью.

Применив алгоритм Евклида, получим

.

Так как есть многочлен третьей степени, разложение которого на множители в общем случае затруднительно, но который в свою очередь, может иметь кратные множители, то мы применим к нему аналогичный процесс понижения кратности множителей. Получим . Итак, множитель входит в с кратностью 1, а следовательно, в он входит с кратностью 2. Разделим на , найдем . Отсюда имеем: множитель входит в с кратность 3, а с кратностью 2. Разделив на многочлен , получим

, т. е. .

Задача 12. Доказать, что число иррациональное.

Решение. Это число является корнем приведенного целочисленного многочлена , который не имеет рациональных корней, т.к. все его рациональные корни целые и должны быть делителями числа 5.

Задача 13. Найти рациональные корни многочлена

.

Решение. Если рациональная несократимая дробь, являющаяся корнем многочлена с целыми коэффициентами, то:

1. k есть делитель а ₀;

2. p есть делитель а_n;

3. есть делитель при любом целом m.

В нашем случае: k может принимать значения: ±1, ±2, ±3, ±6, а p – ±1,±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Теперь можно было бы каждое из этих чисел вида проверить подстановкой в многочлен или по схеме Горнера. Однако, многие из этих чисел можно «отсеять» более простым путем. Найдем границы действительных корней данного многочлена ВГ_х= , НГ_х = , где А – наибольшая из абсолютных величин коэффициентов, а а ₀ – коэффициент при xⁿ или ВГ_х= , где k – индекс первого отрицательного коэффициента многочлена , а B – наибольшая из абсолютных величин его отрицательных коэффициентов (этот способ применим, когда а ₀>0). В нашем примере k =2, B =26, а ₀=6. ВГ_х=1+ < 4.

Для нахождения нижней границы этим способом достаточно в вместо x подставить (– x) и воспользоваться следующим правилом: нижняя граница действительных корней многочлен равна верхней границе действительных корней многочлена , взятой с противоположным знаком. В нашем случае , а₀=6, k =1, B =19. ВГ_х= , значит, нижняя граница – НГ_х= –5. Итак, корни многочлена заключены в интервале (–5,4). Более точные границы можно было найти по методу Ньютона. Воспользуемся еще тем, что если – корень , то целое. Найдем ,

, значит – целое, – целое, если – корень .

Проверяем всевозможные дроби , учитывая границы корней.

ц

д

ц

ц

д

д

ц

д

ц

д

ц

д

ц

д

ц

ц

д

д

ц

д

ц

д

д

д

ц

д

ц

В ходе такой проверки появились рациональные числа 2, –3, , - «кандидаты в корни», проверяем их по схеме Горнера, убеждаемся, что , , , . Для многочлена четвертой степени нашли два корня, значит, кратно или . Корни многочлена находим непосредственно – нерациональные числа.

Задача 14. Доказать, что данное уравнение не имеет ненулевых целочисленных решений.

Решение. Левая часть равенства представляет собой однородный многочлен четвертой степени. Поделим обе части равенства на х ⁴. Получим

.

Положим , тогда . Заданное уравнение тогда и только тогда имеет ненулевое целочисленное решение, когда многочлен имеет рациональные корни. Многочлен приведенный, целочисленный, все его рациональные корни являются: во-первых, целыми; во-вторых, делителями свободного члена 9, т.е. должны принадлежать множеству {±1, ±3, ±9}. Непосредственной проверкой можно убедиться, что ни один элемент данного множества не является корнем многочлена , т.е. данный многочлен не имеет рациональных корней, а значит, заданное уравнение – ненулевых целочисленных корней.

Задача 15. При каких натуральных n будет простым число ?

Решение. Покажем, что . Действительно, если а – произвольный корень многочлена , тогда а будет корнем многочлена , т.е. и .

Рассмотрим , т.е. а – корень многочлена . Так как а – произвольный корень многочлена , то каждый корень многочлена является корнем многочлена , поэтому , где P (x) – многочлен с целыми коэффициентами.

Предположим , тогда , т.е. .

Рассмотрим случаи и .

1. При ,

2. При – простое число.

Натуральное число представлено в виде произведения двух натуральных чисел. Отсюда видно, что может быть простым, если или , – отбрасываем.

При , и представлено в виде произведения двух натуральных чисел, превышающих 1, а значит, это число – составное.

Ответ: .

Задача 16. Решить уравнения в поле комплексных чисел:

1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1. Решим уравнение .

Для корней кубического уравнения имеется так называемая формула Кардано: (i =0, 1, 2), где u ₀, u ₁, u ₂ – значение радикала

и . В нашем случае, а =6, b =2,

, где l =0, 1, 2. Подставляя вместо l значения 0, 1, 2, получим: , , ,

= = ,

= = = ,

= = = ,

, , .

Ответ: ; .

2. Решим уравнение .

Приведем наше уравнение к уравнению вида , произведя подстановку , (a ₀, a ₁ – коэффициенты при x ³ и x ²). Получим:

. Его решения находятся по формуле Кардано: , (i =0, 1,…2),

где , , , _, , ,

y ₀=4, y ₁= , y ₂= , x ₀=7, x ₁= , x ₂= .

Ответ: 7; .

3. Решим уравнение .

Применим способ Феррари. Оставим в левой части уравнения члены с х ⁴ и х ³ и дополним её до полного квадрата:

или

Теперь прибавим к обеим частям члены с новым неизвестным y так, чтобы левая часть снова стала квадратом (независимо от значения y)

или

(*)

Здесь коэффициенты перед степенями x в правой части зависят от неопределенной величины y. Подберем значение y так, чтобы правая часть стала квадратом. Для этого необходимо, чтобы дискриминант квадратного (относительно x) трехчлена в правой части равнялся нулю. Приравняв этот дискриминант нулю получим:

или

или

,

отсюда y =4 и .

Подставив y =4 в уравнение (*), получим: или . Извлекая из обеих частей полученного уравнения квадратный корень, получим два квадратных уравнения: и или и . Решив их, найдем 4 корня нашего уравнения: , .

Ответ: , .

Задача 17. Даны многочлены

, .

1) Определить число действительных корней каждого;

2) С помощью теоремы Штурма найти промежуток (а, b), где , содержащий наибольший корень x ₀ многочлена ;

3) Вычислить с точностью 0,0001 корень x ₀, пользуясь методом линейной интерполяции и методом Ньютона;

Решение.

1. Если коэффициенты a и b уравнения действительны, то число действительных корней этого уравнения вполне определяется знаком числа , называемого дискриминантом многочлена , следующим образом: