![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Решение.
1) Проверим, является ли корнем многочлена
.
2) Проверим, является ли корнем первой производной многочлена
.
, поэтому
– корень
многочлена , кратности не меньше 2.
3) ,
, поэтому
корень кратности не меньше 3.
4) ,
корень многочлена
кратности 3, т.е.
. Чтобы найти многочлен наибольшей степени с простыми корнями, каждый корень которого является корнем
, нужно в многочлене
избавиться от кратных корней. Для этого разделим многочлен
на наибольший общий делитель многочленов
и
:
. Поэтому искомый многочлен будет
, где
,
– простые корни многочлена.
Примечание: Кратность корня можно было проверить по схеме Горнера.
Задача 11. Отделить кратные множители многочлена
.
Решение. По теореме о кратных множителях: если некоторый неприводимый над полем Р многочлен является k- кратным множителем многочлена
с коэффициентами из поля Р, то
является
– кратным множителем производной
. Таким образом, при переходе от
к
кратность всех множителей понижается на 1. Однако у многочлена
могут быть и такие множители, которых нет у
. Чтобы избавиться от них мы найдем НОД
и
. В него будут входить только те множители, которые входят в
, однако с меньшей на 1 кратностью.
Применив алгоритм Евклида, получим
.
Так как есть многочлен третьей степени, разложение которого на множители в общем случае затруднительно, но который в свою очередь, может иметь кратные множители, то мы применим к нему аналогичный процесс понижения кратности множителей. Получим
. Итак, множитель
входит в
с кратностью 1, а следовательно, в
он входит с кратностью 2. Разделим
на
, найдем
. Отсюда имеем: множитель
входит в
с кратность 3, а
с кратностью 2. Разделив
на многочлен
, получим
, т. е.
.
Задача 12. Доказать, что число иррациональное.
Решение. Это число является корнем приведенного целочисленного многочлена , который не имеет рациональных корней, т.к. все его рациональные корни целые и должны быть делителями числа 5.
Задача 13. Найти рациональные корни многочлена
.
Решение. Если рациональная несократимая дробь, являющаяся корнем многочлена
с целыми коэффициентами, то:
1. k есть делитель а 0;
2. p есть делитель аn;
3. есть делитель
при любом целом m.
В нашем случае: k может принимать значения: ±1, ±2, ±3, ±6, а p – ±1,±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Теперь можно было бы каждое из этих чисел вида проверить подстановкой в многочлен или по схеме Горнера. Однако, многие из этих чисел можно «отсеять» более простым путем. Найдем границы действительных корней данного многочлена ВГх=
, НГх =
, где А – наибольшая из абсолютных величин коэффициентов, а а 0 – коэффициент при xn или ВГх=
, где k – индекс первого отрицательного коэффициента многочлена
, а B – наибольшая из абсолютных величин его отрицательных коэффициентов (этот способ применим, когда а 0>0). В нашем примере k =2, B =26, а 0=6. ВГх=1+
< 4.
Для нахождения нижней границы этим способом достаточно в вместо x подставить (– x) и воспользоваться следующим правилом: нижняя граница действительных корней многочлен
равна верхней границе действительных корней многочлена
, взятой с противоположным знаком. В нашем случае
, а0=6, k =1, B =19. ВГх=
, значит, нижняя граница – НГх= –5. Итак, корни многочлена заключены в интервале (–5,4). Более точные границы можно было найти по методу Ньютона. Воспользуемся еще тем, что если
– корень
, то
целое. Найдем
,
, значит
– целое,
– целое, если
– корень
.
Проверяем всевозможные дроби , учитывая границы корней.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ц | д | ц | ц | д | д | ц | д | ц | д | ц | д | ц | д | ц | ц | д | д |
![]() | ц | д | ц | д | д | д | ц | д | ц |
В ходе такой проверки появились рациональные числа 2, –3, ,
- «кандидаты в корни», проверяем их по схеме Горнера, убеждаемся, что
,
,
,
. Для многочлена четвертой степени нашли два корня, значит,
кратно
или
. Корни многочлена
находим непосредственно
– нерациональные числа.
Задача 14. Доказать, что данное уравнение не имеет ненулевых целочисленных решений.
Решение. Левая часть равенства представляет собой однородный многочлен четвертой степени. Поделим обе части равенства на х 4. Получим
.
Положим , тогда
. Заданное уравнение
тогда и только тогда имеет ненулевое целочисленное решение, когда многочлен
имеет рациональные корни. Многочлен
приведенный, целочисленный, все его рациональные корни являются: во-первых, целыми; во-вторых, делителями свободного члена 9, т.е. должны принадлежать множеству {±1, ±3, ±9}. Непосредственной проверкой можно убедиться, что ни один элемент данного множества не является корнем многочлена
, т.е. данный многочлен не имеет рациональных корней, а значит, заданное уравнение – ненулевых целочисленных корней.
Задача 15. При каких натуральных n будет простым число ?
Решение. Покажем, что . Действительно, если а – произвольный корень многочлена
, тогда а будет корнем многочлена
, т.е.
и
.
Рассмотрим , т.е. а – корень многочлена
. Так как а – произвольный корень многочлена
, то каждый корень многочлена
является корнем многочлена
, поэтому
, где P (x) – многочлен с целыми коэффициентами.
Предположим , тогда
, т.е.
.
Рассмотрим случаи и
.
1. При
,
2. При
– простое число.
Натуральное число представлено в виде произведения двух натуральных чисел. Отсюда видно, что
может быть простым, если
или
,
– отбрасываем.
При ,
и
представлено в виде произведения двух натуральных чисел, превышающих 1, а значит, это число – составное.
Ответ: .
Задача 16. Решить уравнения в поле комплексных чисел:
1) ; 2)
; 3)
.
Решение.
1. Решим уравнение .
Для корней кубического уравнения имеется так называемая формула Кардано:
(i =0, 1, 2), где u 0, u 1, u 2 – значение радикала
и
. В нашем случае, а =6, b =2,
, где l =0, 1, 2. Подставляя вместо l значения 0, 1, 2, получим:
,
,
,
=
=
,
=
=
=
,
=
=
=
,
,
,
.
Ответ: ;
.
2. Решим уравнение .
Приведем наше уравнение к уравнению вида , произведя подстановку
, (a 0, a 1 – коэффициенты при x 3 и x 2). Получим:
. Его решения находятся по формуле Кардано:
, (i =0, 1,…2),
где ,
,
,
,
,
,
y 0=4, y 1= , y 2=
, x 0=7, x 1=
, x 2=
.
Ответ: 7; .
3. Решим уравнение .
Применим способ Феррари. Оставим в левой части уравнения члены с х 4 и х 3 и дополним её до полного квадрата:
или
Теперь прибавим к обеим частям члены с новым неизвестным y так, чтобы левая часть снова стала квадратом (независимо от значения y)
или
(*)
Здесь коэффициенты перед степенями x в правой части зависят от неопределенной величины y. Подберем значение y так, чтобы правая часть стала квадратом. Для этого необходимо, чтобы дискриминант квадратного (относительно x) трехчлена в правой части равнялся нулю. Приравняв этот дискриминант нулю получим:
или
или
,
отсюда y =4 и .
Подставив y =4 в уравнение (*), получим: или
. Извлекая из обеих частей полученного уравнения квадратный корень, получим два квадратных уравнения:
и
или
и
. Решив их, найдем 4 корня нашего уравнения:
,
.
Ответ: ,
.
Задача 17. Даны многочлены
,
.
1) Определить число действительных корней каждого;
2) С помощью теоремы Штурма найти промежуток (а, b), где , содержащий наибольший корень x 0 многочлена
;
3) Вычислить с точностью 0,0001 корень x 0, пользуясь методом линейной интерполяции и методом Ньютона;
Решение.
1. Если коэффициенты a и b уравнения действительны, то число действительных корней этого уравнения вполне определяется знаком числа
, называемого дискриминантом многочлена
, следующим образом:
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 1719 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!