![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Задача 1. Найти НОД многочленов
,
,
.
Решение. НОД многочленов находится однозначно лишь с точностью до постоянного множителя (постоянные, отличные от нуля множители на делимость многочленов не влияют). Поэтому можно условиться, в качестве НОД многочленов брать тот, у которого старший коэффициент равен 1.
Применяя алгоритм Евклида к многочленам с целыми коэффициентами, мы можем, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или делитель на любое не равное нулю число, причем, не только начиная с какого-либо из последовательных делений, но и в процессе самого этого деления. Это будет приводить, понятно, к искажению частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь некоторый множитель нулевой степени.
Чтобы найти НОД трех многочленов, сначала находим по алгоритму Евклида НОД любых двух многочленов, например , а затем находим НОД d (x) и g (x).
Алгоритм Евклида состоит в последовательном делении многочленов с остатком. Будем делить сначала f (x) на h (x), затем h (x) на полученный при делении остаток r (х) (первый остаток), затем первый остаток на второй остаток и т.д., до тех пор, пока не получим в остатке нуль. НОД многочленов f (x) и h (x) будет последний отличный от нуля остаток. Процесс деления будем осуществлять "углом".
_ | x 4-2 x 3- x +2 | x 4-4 x 2- x +2 | _ | x 4-4 x 2- x +2 | x 3-2 x 2 | ||||
x 4-4 x 2- x +2 | x 4-2 x 3 | x+ 2 | |||||||
- 2 x3+ 4 x2 | _ | 2 x 3 - 4 x 2 -x +2 | |||||||
x3- 2 x2 | 2 x 3 - 4 x 2 | ||||||||
_ | -x+ 2 | ||||||||
x- 2 | |||||||||
0 | |||||||||
_ | x 3-2 x 2 | x- 2 | ||
x 3-2 x 2 | x 2 | |||
0 | ||||
Значит НОД многочленов f (x) и h (x) равен двучлену x –2.
.
Аналогично находим НОД многочленов d (x) и g (x), он будет равен 1. Таким образом, .
Примечание. Знак «=» или «!!» означает, что в ходе деления было произведено умножение на некоторое число, отличное от нуля.
Задача 2.Используя алгоритм Евклида найти многочлены u (x) и v (x), удовлетворяющие равенству , где d (x) – НОД многочленов f (x) и g (x):
,
.
Решение. Применим к многочленам f (x) и g (x) алгоритм Евклида. Нужно помнить, что здесь произвол, состоявший в умножении многочленов на постоянные множители, возможный при нахождении НОД, допускать нельзя, так как здесь мы будем использовать и частные, которые при указанном произволе могут искажаться.
В результате деления получим:
,
где ,
,
,
где ,
,
,
где ,
.
Таким образом, алгоритм Евклида записался здесь в три строки, а наибольший общий делитель равен . Чтобы выразить d (x) через многочлены f (x) и g (x), найдем r 2(x) из второй строки алгоритма Евклида:
.
Подставив в это равенство вместо r 1(x) его выражение, найденное из первой строки алгоритма Евклида, получим:
,
чтобы получить равенство , нужно предыдущее равенство умножить на (–1), получим:
,
где ,
.
После подстановки в это равенство многочленов q 1(x), q 2(x) получим:
,
.
Задача 3. Способом неопределенных коэффициентов подобрать многочлены u (x) и v (x) так, чтобы , (1) для многочленов
,
.
Решение. Воспользуемся теоремой: если d (x) есть НОД многочленов f (x) и g (x), то можно найти такие многочлены u (x) и v (x), что
.
Можно считать при этом, если степени многочленов и
больше нуля, что степень
меньше степени
, а степень v (x) меньше степени
.
Многочлены и g (x) удовлетворяют равенству (1), если (f (x), g (x))=1. В нашем случае
и
взаимно простые многочлены, а значит, можно найти многочлен
и многочлен
.
Подставив в равенство (1) вместо ,
,
, v (x) их выражения, получим:
или
Таким образом, имеем равенство двух многочленов: в левой части многочлен пятой степени с неопределенными коэффициентами, а в правой многочлен нулевой степени. Два многочлена равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного, получим систему шести линейных уравнений с неизвестными a, b, c, d, e, f:
Решая ее, получим: ,
,
,
,
,
.
Таким образом, искомые многочлены и
будут:
,
.
Задача 4. Пользуясь схемой Горнера, вычислить и разложить многочлен
по степеням
, где
,
.
Решение. По теореме Безу остаток от деления многочлена на линейный двучлен
равен значению
многочлена при
.
Деление «углом» может быть записано проще: если , то коэффициенты частного
и остаток
от деления
на
могут быть найдены по схеме Горнера:
![]() | ![]() | ![]() | … | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | … | ![]() | ![]() |
Составив схему Горнера для нашего многочлена, находим :
–7 | –1 | ||||
, а частное от деления
на
есть
, т.е.
.
Затем по схеме Горнера разделим на
, получим частное
и остаток
, далее
разделим на
, получим
и
и т.д.
Для многочлена получим:
Таким образом, коэффициенты в разложении многочлена
по степеням
равны соответственно остаткам от деления многочленов
,
,
,
,
на
.
Все решение можно записать в таблицу:
–7 | –1 | ||||
Из таблицы видно, что ,
,
,
,
и
.
Задача 5.Доказать, что .
Решение. Рассмотрим многочлен . Число
является корнем многочлена
и по теореме Безу
нацело делится на
, т.е.
, где
– многочлен с целыми коэффициентами, поэтому
делится на
при любом целом х. Положим
. Получаем
, т.е.
, а т.к.
, делаем вывод, что
.
Замечание. Из правил «деления углом» многочлена на многочлен
непосредственно видно, что если многочлены
и
с целыми коэффициентами, причем
приведенный, то частное и остаток являются многочленами с целыми коэффициентами.
Задача 6. Остатки от деления многочлена на двучлены
и
равны –9 и 7 соответственно. Найти остатки от деления этого многочлена на многочлен
.
Решение. По теореме Безу ,
. При делении многочлена
на многочлен
получим некоторое частное
и остаток
, т.е.
.
Подставив в последнее равенство вместо х значения –5 и 3 получим систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:
Решив её, находим ,
. Тогда искомый остаток от деления многочлена
на многочлен
будет равен
.
Задача 7. Дан многочлен с целочисленными коэффициентами и
. Доказать, что
.
Решение. Рассмотрим разложение многочлена по степеням
:
,
ввиду того, что делится на 21, т.е. делится на 7. Аналогично
делится на 3. В силу взаимной простоты 3 и 7 число
делится на 21.
Задача 8. Разложить многочлен в произведение многочленов не выше второй степени с действительными коэффициентами.
Решение. Найдем корни многочлена , ими будут
x = .
Придавая k значения 0, 1, …, 6, получим семь корней многочлена ;
;
;
;
;
=
;
=
;
=
.
Среди них только один действительный – это x 3= – , остальные комплексные, причем попарно сопряжены: x 6=
, x 5=
, x 4=
. В общем случае
,
.
Рассмотрим произведение
, где k =0, 1, 2.
Имеем квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. Многочлен можно разложить в произведение 7 линейных множителей (следствие основной теоремы алгебры). Перемножив множители, которые соответствуют сопряженным корням, получим искомое разложение:
Задача 9. Представить многочлен в виде суммы квадратов двух многочленов.
Решение. Любой многочлен с действительными коэффициентами, положительный при любом
представляется в виде суммы квадратов двух многочленов. Для этого найдем корни многочлена
:
, разложим на линейные множители, затем перемножим
и
, получим искомое представление:
Обозначим ,
, получим
.
Задача 10. Определить кратность корня многочлена
. Найти многочлен наибольшей степени с простыми корнями, каждый корень которого является корнями многочлена
.
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 443 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!