Решение типовых задач 1 страница

Задача 1. Найти НОД многочленов

, , .

Решение. НОД многочленов находится однозначно лишь с точностью до постоянного множителя (постоянные, отличные от нуля множители на делимость многочленов не влияют). Поэтому можно условиться, в качестве НОД многочленов брать тот, у которого старший коэффициент равен 1.

Применяя алгоритм Евклида к многочленам с целыми коэффициентами, мы можем, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или делитель на любое не равное нулю число, причем, не только начиная с какого-либо из последовательных делений, но и в процессе самого этого деления. Это будет приводить, понятно, к искажению частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь некоторый множитель нулевой степени.

Чтобы найти НОД трех многочленов, сначала находим по алгоритму Евклида НОД любых двух многочленов, например , а затем находим НОД d (x) и g (x).

Алгоритм Евклида состоит в последовательном делении многочленов с остатком. Будем делить сначала f (x) на h (x), затем h (x) на полученный при делении остаток r (х) (первый остаток), затем первый остаток на второй остаток и т.д., до тех пор, пока не получим в остатке нуль. НОД многочленов f (x) и h (x) будет последний отличный от нуля остаток. Процесс деления будем осуществлять "углом".

_	x 4-2 x 3- x +2		x 4-4 x 2- x +2	_	x 4-4 x 2- x +2	x 3-2 x 2
	x 4-4 x 2- x +2				x 4-2 x 3	x+ 2
		- 2 x3+ 4 x2			_	2 x 3 - 4 x 2 -x +2
		x3- 2 x2		2 x 3 - 4 x 2
				_	-x+ 2
				x- 2
					0

_	x 3-2 x 2		x- 2
	x 3-2 x 2		x 2
		0

Значит НОД многочленов f (x) и h (x) равен двучлену x –2.

.

Аналогично находим НОД многочленов d (x) и g (x), он будет равен 1. Таким образом, .

Примечание. Знак «=» или «!!» означает, что в ходе деления было произведено умножение на некоторое число, отличное от нуля.

Задача 2.Используя алгоритм Евклида найти многочлены u (x) и v (x), удовлетворяющие равенству , где d (x) – НОД многочленов f (x) и g (x): , .

Решение. Применим к многочленам f (x) и g (x) алгоритм Евклида. Нужно помнить, что здесь произвол, состоявший в умножении многочленов на постоянные множители, возможный при нахождении НОД, допускать нельзя, так как здесь мы будем использовать и частные, которые при указанном произволе могут искажаться.

В результате деления получим:

,

где , ,

,

где , ,

,

где , .

Таким образом, алгоритм Евклида записался здесь в три строки, а наибольший общий делитель равен . Чтобы выразить d (x) через многочлены f (x) и g (x), найдем r ₂(x) из второй строки алгоритма Евклида:

.

Подставив в это равенство вместо r ₁(x) его выражение, найденное из первой строки алгоритма Евклида, получим:

,

чтобы получить равенство , нужно предыдущее равенство умножить на (–1), получим:

,

где , .

После подстановки в это равенство многочленов q ₁(x), q ₂(x) получим:

, .

Задача 3. Способом неопределенных коэффициентов подобрать многочлены u (x) и v (x) так, чтобы , (1) для многочленов , .

Решение. Воспользуемся теоремой: если d (x) есть НОД многочленов f (x) и g (x), то можно найти такие многочлены u (x) и v (x), что

.

Можно считать при этом, если степени многочленов и больше нуля, что степень меньше степени , а степень v (x) меньше степени .

Многочлены и g (x) удовлетворяют равенству (1), если (f (x), g (x))=1. В нашем случае и взаимно простые многочлены, а значит, можно найти многочлен и многочлен .

Подставив в равенство (1) вместо , , , v (x) их выражения, получим:

или

Таким образом, имеем равенство двух многочленов: в левой части многочлен пятой степени с неопределенными коэффициентами, а в правой многочлен нулевой степени. Два многочлена равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного, получим систему шести линейных уравнений с неизвестными a, b, c, d, e, f:

Решая ее, получим: , , , , , .

Таким образом, искомые многочлены и будут:

, .

Задача 4. Пользуясь схемой Горнера, вычислить и разложить многочлен по степеням , где , .

Решение. По теореме Безу остаток от деления многочлена на линейный двучлен равен значению многочлена при .

Деление «углом» может быть записано проще: если , то коэффициенты частного и остаток от деления на могут быть найдены по схеме Горнера:

				…
				…

Составив схему Горнера для нашего многочлена, находим :

			–7		–1

, а частное от деления на есть , т.е. .

Затем по схеме Горнера разделим на , получим частное и остаток , далее разделим на , получим и и т.д.

Для многочлена получим:

Таким образом, коэффициенты в разложении многочлена по степеням равны соответственно остаткам от деления многочленов , , , , на .

Все решение можно записать в таблицу:

			–7		–1

Из таблицы видно, что , , , , и

.

Задача 5.Доказать, что .

Решение. Рассмотрим многочлен . Число является корнем многочлена и по теореме Безу нацело делится на , т.е. , где – многочлен с целыми коэффициентами, поэтому делится на при любом целом х. Положим . Получаем , т.е. , а т.к. , делаем вывод, что .

Замечание. Из правил «деления углом» многочлена на многочлен непосредственно видно, что если многочлены и с целыми коэффициентами, причем приведенный, то частное и остаток являются многочленами с целыми коэффициентами.

Задача 6. Остатки от деления многочлена на двучлены и равны –9 и 7 соответственно. Найти остатки от деления этого многочлена на многочлен .

Решение. По теореме Безу , . При делении многочлена на многочлен получим некоторое частное и остаток , т.е. .

Подставив в последнее равенство вместо х значения –5 и 3 получим систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:

Решив её, находим , . Тогда искомый остаток от деления многочлена на многочлен будет равен .

Задача 7. Дан многочлен с целочисленными коэффициентами и . Доказать, что .

Решение. Рассмотрим разложение многочлена по степеням :

,

ввиду того, что делится на 21, т.е. делится на 7. Аналогично делится на 3. В силу взаимной простоты 3 и 7 число делится на 21.

Задача 8. Разложить многочлен в произведение многочленов не выше второй степени с действительными коэффициентами.

Решение. Найдем корни многочлена , ими будут

x = .

Придавая k значения 0, 1, …, 6, получим семь корней многочлена ;

; ; ;

; = ;

= ;

= .

Среди них только один действительный – это x ₃= – , остальные комплексные, причем попарно сопряжены: x ₆= , x ₅= , x ₄= . В общем случае

, .

Рассмотрим произведение

, где k =0, 1, 2.

Имеем квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. Многочлен можно разложить в произведение 7 линейных множителей (следствие основной теоремы алгебры). Перемножив множители, которые соответствуют сопряженным корням, получим искомое разложение:

Задача 9. Представить многочлен в виде суммы квадратов двух многочленов.

Решение. Любой многочлен с действительными коэффициентами, положительный при любом представляется в виде суммы квадратов двух многочленов. Для этого найдем корни многочлена : , разложим на линейные множители, затем перемножим и , получим искомое представление:

Обозначим , , получим .

Задача 10. Определить кратность корня многочлена . Найти многочлен наибольшей степени с простыми корнями, каждый корень которого является корнями многочлена .