Решение типовых задач 3 страница

а) при D=0 все три корня действительны, из них два равных;

б) при D>0 – все три корня действительны;

в) при D<0 – один корень действительный, два мнимых.

В нашем случае: или положив , , т.е. D =4–27·25<0, поэтому многочлен имеет один действительный корень.

2. Для многочлена определим число действительных корней, установив число перемен знаков в системе Штурма многочлена при переходе от –∞ к +∞. Также найдем целые границы, между которыми каждый из этих корней расположен, причем не будем строить заранее график этой функции.

Всякий многочлен с действительными коэффициентами, не имеющий кратных корней, обладает системой Штурма. Если многочлен имеет кратные корни, то от их нужно избавиться, поделив многочлен на НОД многочленов и . Систему Штурма многочлена можно построить следующим образом: положим , затем делим на и остаток от этого деления, взятый с обратным знаком, принимаем за , т.е. . Вообще, если многочлены и уже найдены, то будет остатком от деления на , взятый с обратным знаком:

.

Найдем систему Штурма для , применяя указанный метод. При этом в процессе деления мы будем, в отличие от алгоритма Евклида, умножать и сокращать лишь на произвольные положительные числа, т.к. знаки остатков играют важную роль в методе Штурма. Мы получим такую систему

,

,

,

.

Определим знаки многочленов этой системы при x =–∞ и x = +∞, для чего смотрим лишь на знаки старших коэффициентов и на степени этих многочленов. При +∞ знаки всех многочленов системы Штурма будут совпадать со знаками их старших членов, а при –∞ знаки многочленов системы Штурма совпадают со знаками их старших коэффициентов для многочленов четной степени и противоположны знакам старших многочленов нечетной степени.

					Число перемен знаков
–∞	–	+	–	+
+∞	+	+	+	+

Таким образом, при переходе x от –∞ к +∞ система Штурма теряет три перемены знаков, поэтому многочлен имеет ровно три действительных корня (теорема Штурма).

Продолжим исследование знаков в системе Штурма, рассматривая промежутки (0,1), (1,2), (2,3) и т.д., (0,–1), (–1,–2), (–2,–3) и т.д. Тем самым, определим промежутки (а, b), где , содержащие три действительных корня и найдем промежуток для x ₀.

					Число перемен знаков
x =–3	–	+	–	+
x =–2	+		–	+
x =–1	+	–	–	+
x =0	–		+	+
x =1	+	+	+	+

Таким образом, система Штурма многочлена теряет по одной перемене знаков при переходе x от –3 к –2, от –1 к 0 и от 0 к 1. Корни x ₁, x ₂, x ₃ этого многочлена удовлетворяют, следовательно, неравенствам:

–3< x ₁<–2, –1< x ₂<0, 0< x ₃<1, т.е. наибольший корень x ₀ (0,1).

3. Построим в промежутке (0, 1) схематично график многочлена , вычислив следующие значения многочленов:

, , , (функция возрастает на рассматриваем интервале), (функция выпукла).

Схематический график функции представлен на рис.1.

Рис.1

Сначала по методу хорд на отрезке (0,1) кривая заменяется хордой АВ и в качестве первого приближенного значения корня принимается абсцисса x =с точки пересечения этой хорды с осью x. Треугольник КВС подобен треугольнику САЕ, поэтому , или , или . В общем случае .

Затем по методу Ньютона проводим касательную y к графику в точке А(1, ) (мы проводим касательную в точке x =1, т.к. и одного знака) и берем за другое приближенное значение корня абсциссу x = р точки пересечения этой касательной с осью Оx.

Запишем уравнение касательной, проходящей через точку А

.

Поскольку эта касательная проходит через точку (p, 0), то подставив эти значения в уравнение касательной, получим

или =1– .

В общем случае .

Более точное значение искомого корня x ₀ теперь уже можно искать в новом

промежутке (а ₁, b ₁), положив а ₁=0,3, b ₁=0,7. Повторив метод хорд и метод Ньютона в промежутке (а ₁, b ₁) имеем: g (а ₁)=–0,703; g (b ₁)=0,813; g' (b ₁)=5,67.

Так как g (а ₁) и g (b ₁) разных знаков, то x ₀ (а ₁, b ₁)

,

p ₁=0,7– .

Рассмотрим новый промежуток (а ₂, b ₂), положив а ₂=0,5, b ₂=0,55, g (а ₂)=–0,125, g (b ₂)=0,073875, g' (b ₂)=4,2075, т.к. g (а ₂) и g (b ₂) – разных знаков, то x ₀ (а ₂, b ₂),

, p ₂=0,55– .

И наконец, рассмотрев промежуток (а ₃, b ₃), где а ₃=0,531, b ₃=0,532, найдем более точно x ₀ .

Задача 18.Следующую рациональную дробь , где

, ,

разложить в сумму простейших дробей в поле рациональных чисел.

Решение. Всякая правильная рациональная дробь обладает единственным разложением в сумму простейших дробей. В нашем случае степень меньше степени , поэтому дробь правильная.

Теперь разложим знаменатель на степени неприводимых множителей в поле рациональных чисел, имеет два рациональных корня 1 и –2, причем 1 – корень второй кратности.

.

= = =

или

.

Это уравнение можно решить методом приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях, но мы сделаем более простым способом. Поскольку правый и левый многочлены тождественно равны, то равенство выполняется при x R.

1. Пусть x =–2, g (–2)=135 (левая часть равенства), правая часть равенства при x =–2 равна , поэтому 135= а ·9·5 или а =3.

2. Пусть x =1, g (1)=6, 6= b ·3·2 или b =1.

3. Пусть x =2, 0 и –1, тогда

или с = –2, h = –3, d =1.

Ответ: = .

Задача 19. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби , где a – корень многочлена .

Решение. Многочлен неприводим над полем рациональных чисел. Знаменатель дроби является значением многочлена при x=a. Поскольку неприводим, то многочлены и взаимно просты, т.е. , где d – рациональное число, а именно , т.к. , то . Значит, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе достаточно члены дроби умножить на число . Получим .

Задача 20. Показать, что множество чисел вида (где k – один из корней многочлена , b, c – рациональные числа) образует поле относительно арифметических действий сложения и умножения. Найти для обратный элемент .

Решение: Обозначим через Р рассматриваемое множество чисел

с рациональными a, b, c и покажем, что любой элемент M из P единственным образом выражается в виде трехчлена . В самом деле, пусть . Тогда . Если , то при , получаем, что – рациональное, что невозможно, (т.к. k – один из корней вида ). Если же и , то , т.е. . Таким образом, остается разобрать случай . В этом случае k является корнем квадратного уравнения с рациональными коэффициентами , где . Отсюда получается, что , , или, т.к. , . В силу иррациональности k отсюда вытекает, что , и, значит, , что невозможно, т.к. – иррациональное число.

Далее покажем, что Р относительно арифметических действий сложения и умножения образует коммутативное кольцо.

Возьмем два числа и рассматриваемого числового множества Р. Их сумма и произведение принадлежат тому же множеству Р, т.к. имеют вид трехчлена с рациональными a, b, c. Сложение и умножение чисел (не только рассматриваемого вида, но вообще комплексных) подчиняются ассоциативному, коммутативному и дистрибутивному законам. Число 0 принадлежит рассматриваемому числовому множеству, так как может быть представлено в виде и играет в этом множестве роль нулевого элемента. Для всякого с рациональными коэффициентами a, b, c найдется в этом же множестве противоположный элемент: . Таким образом, рассматриваемое числовое множество Р образует относительно арифметических действий сложения и умножения коммутативное кольцо, причем это кольцо, кроме 0, содержит бесконечное множество элементов, отличных от нуля, и среди таких элементов содержит число 1, т.к. .

Покажем теперь, что Р – поле.

Рассмотрим уравнение . Если в его левой части перемножить многочлены, заменить и соответственно числами 2 и 2 k и сгруппировать члены по возрастающим степеням k, то получится

,

где – некоторые рациональные числа. Отсюда

(*)

Определитель d этой системы уравнений отличен от нуля. В самом деле, если бы d =0, то система линейных однородных уравнений

с теми же коэффициентами , что и предыдущая система, имела бы ненулевое решение, например , в силу чего произведение двух чисел и , отличных от нуля, равнялось бы нулю, что невозможно.

Но если , то система (*) линейных уравнений имеет единственное решение, т.е. существует единственное число с рациональными , обратное для М и лежащее в Р. Мы убедились, таким образом, что Р образует поле относительно арифметических действий сложения и умножения чисел.

Отсюда получается довольно простой способ нахождения обратного элемента в поле Р. Например, для находим следующим образом:

Полагая , получаем

или (т.к. ).

Отсюда, учитывая, что , получаем

Решая эту систему линейных уравнений, находим, что .

Таким образом .

Задача 21.Выразить симметрический многочлен f через элементарные симметрические многочлены:

f (x ₁, x ₂, x ₃)= .

Решение. f (x ₁, x ₂, x ₃)=

+ ) = g (x ₁, x ₂, x ₃) –2 h (x ₁, x ₂, x ₃),

где g (x ₁, x ₂, x ₃) = ,

h (x ₁, x ₂, x ₃)= +…+ .

Выразим через элементарные симметрические многочлены сначала многочлен g (x ₁, x ₂, x ₃), затем h (x ₁, x ₂, x ₃). Многочлен g (x ₁, x ₂, x ₃) – симметрический многочлен, равный . Выразим h (x ₁, x ₂, x ₃) через элементарные симметрические многочлены. Это можно получить, если предусмотреть произведение , которое приходится вычитать из многочлена h (x ₁, x ₂, x ₃). Это можно сделать, если учесть следующие факты: во-первых, произведение вполне определяется своим высшим членом: если его высший член равен , то к ₁= а ₁– а ₂, к ₂= а ₂– а ₃, к ₃= а ₃; во-вторых, высший член вычитаемого из h (x ₁, x ₂, x ₃) произведения «не выше» высшего члена у h (x ₁, x ₂, x ₃); в-третьих, показатели при x ₁, x ₂, x ₃ в высших членах образуют убывающую последовательность; в-четвертых, h (x ₁, x ₂, x ₃) однородный, поэтому сумма показателей у всех его членов, а следовательно, и у всех вычитаемых из него членов постоянна и равна 3.

Результаты решения запишем в таблицу:

Возможные высшие члены многочленов 3–й степени от трех неизвестных	Соответствующие им системы показателей	Произведения элементарных симметрических многочленов, имеющие указанные высшие члены
р к x 1 x 2 x 3	3 0 0 2 1 0 1 1 1	a b