Неравномерного движения по методу Б. А. Бахметьева

Для построения кривой свободной поверхности проинтегрируем уравнение (10.8):

.

Преобразуем знаменатель этого уравнения. Так как , то получим

.

Используя соотношения

,

будем иметь

.

Обозначим

,

(10.14)

и знаменатель уравнения (10.8) примет вид

.

Подставляя его в уравнение, получим

.

(10.15)

Используем показательную зависимость Б. А. Бахметьева в виде (10.12)

.

Введем обозначение

,

величина называется относительной глубиной.

Из этого соотношения получим

.

Тогда уравнение (10.15) запишется в виде

.

Проинтегрируем полученное уравнение вдоль потока от сечения 1 – 1 до сечения 2 – 2, расположенного на некотором расстоянии от сечения 1 – 1 вниз по потоку. Будем отмечать гидравлические элементы сечения 1 – 1 индексом 1, элементы сечения 2 – 2 – индексом 2. В результате получим

.

Допустим, что величина j мало меняется с изменением глубины потока, специальные расчеты подтверждают это. Тогда скобку можно вынести за знак интеграла, приняв среднее значение величины j на расчетном участке. Это среднее значение величины j _ср можно вычислить по формуле

,

где j ₁ и j ₂ рассчитываются по формуле (10.14) соответственно для глубин h ₁ и h ₂.

Величину j _ср можно также рассчитать по формуле (10.14)

,

где величины вычисляются для глубины

.

Тогда интегрируемое уравнение можно записать как

.

Так как мы считаем для данного русла величину гидравлического показателя x постоянной, то подынтегральная функция этого уравнения зависит только от . Введем обозначение

,

где С – произвольная константа интегрирования.

Тогда окончательно получим уравнение кривой свободной поверхности в виде

.

(10.16)

Уравнение (10.16) называется уравнением Бахметьева для случая I ₀ > 0.

Функции для различных значений и x вычислены и занесены в таблицы. Установив величину гидравлического показателя x для исследуемого русла по таким таблицам можно определить значения функций и для предварительно вычисленных и .

Пользуясь уравнением (10.16) можно решать следующие практические задачи:

• задана глубина h ₁ (или h ₂), требуется определить глубину h ₂ (или h ₁) в сечении потока, расположенном на расстоянии от первого сечения;
• заданы две глубины в разных сечениях: h ₁ и h ₂, требуется определить расстояние между этими сечениями;
• задана глубина h ₁ в некотором сечении, требуется построить кривую свободной поверхности.

Метод Б. А. Бахметьева, использующий показательную зависимость между глубинами и модулями расхода потока, можно применять и для расчета движения воды в русле с горизонтальным уклоном () и в русле с обратным уклоном ().

Для течения в горизонтальном русле показательная зависимость записывается в виде

,

(10.17)

в котором действительные элементы потока h и K относятся к критическим элементам h _к и K _к.

Для русел с обратным уклоном показательную зависимость запишем так:

.

(10.18)

Здесь – модуль расхода, отвечающий некоторой воображаемой нормальной глубине , которая получается, если представить, что при заданном расходе Q вода движется по уклону, т. е. в обратную сторону относительно действительного течения, причем в русле установился равномерный режим.

Используя зависимости (10.17) или (10.18) и проведя преобразования, аналогичные вышеизложенным, получаем уравнения Б.А.Бахметьева для случаев горизонтального русла и русла с обратным уклоном.