Необходимые сведения. 1. Геометрические векторы

1. Геометрические векторы.

Вектором называется направленный отрезок. Вектор обозначается двумя буквами с чертой или стрелкой над ними, причем первая буква указывает начало вектора, а вторая его – конец. Вектор может быть обозначен также одной буквой латинского алфавита Длину или модуль вектора обозначают в виде . Суммой двух векторов называется новый вектор , который идет из начала первого вектора в конец второго , если второй вектор выходит из конца первого

(рисунок 1.1)

Разностью двух векторов называется

Третий вектор , который представляет собой

сумму вектора и вектора, противоположного

вектору , т.е. (рисунок 1.2)

Произведением вектора на число называется вектор, обозначаемый , такой, что:

1)

2) векторы имеют одно направление, если , и противоположное, если .

Если вектор составляет угол с осью 0x, то проекцией вектора на эту ось называется произведение модуля вектора на косинус угла :

.

Проекция суммы векторов на ось 0x равна сумме проекций этих векторов на эту ось:

.

В трехмерном пространстве вектор может быть представлен разложением по координатному базису в виде

,

где - единичные базисные векторы, направление каждого из которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси;

x, y, z – проекции вектора на оси координат.

Длина (модуль) вектора определяется через проекции по формуле

Косинусы углов , образованных вектором с осями координат, находятся в виде отношений

Они называются направляющими косинусами. Равенство используется для выражения вектора через его проекции на заданные координатные оси.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Условие коллинеарности двух векторов записывается в виде

, где

- числовой множитель.

Через координаты это условие записывается в виде

Скалярным произведением векторов называется произведение их модулей на косинус угла между векторами:

Из данного выражения можно найти :

Если векторы выражены через координаты в декартовой системе координат то скалярное произведение определяется как сумма попарных произведений соответствующих координат:

Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

Скалярное произведение может быть также представлено в виде:

где - проекции одного из векторов на направление второго вектора.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1)

2)

Модуль вектора может быть представлен в виде

где -скалярный квадрат вектора , равный .