Критерий Гурвица

Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a₁ до a_n;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.

Критерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

Рассмотрим примеры применения критерия Гурвица:

1) n = 1 => уравнение динамики: a₀p + a₁ = 0. Определитель Гурвица: = ₁ = a₁ > 0 при a₀ > 0, то есть условиие устойчивости: a₀ > 0, a₁ > 0;

2) n = 2 => уравнение динамики: a₀p² + a₁p + a₂ = 0. Определители Гурвица: ₁ = a₁ > 0, D₂ = a₁a₂ - a₀a₃ = a₁a₂ > 0, так как a₃ = 0, то есть условие устойчивости: a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0;

3) n = 3 => уравнение динамики: a₀p³ + a₁p² + a₂p + a₃ = 0. Определители Гурвица: ₁ = a₁ > 0, ₂ = a₁a₂ - a₀a₃ > 0, 3 = a_{3 2} > 0, условие устойчивости: a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0, a₃ > 0, a₁a₂ - a₀a₃ > 0;

Таким образом при n 2 положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости САУ. При n > 2 появляются дополнительные условия.

Критерий Гурвица применяют при n 4. При больших порядках возрастает число определителей и процесс становится трудоемким. Имеется ряд модификаций данного критерия, расширяющие его возможности.

Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя _n = a_{n n-1} = 0 говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо a_n = 0 - при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор _n-1 = 0 - при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости. Параметры САУ определяют значения коэффициентов уравнения динамики, следовательно изменение любого параметра Ki влияет на значение определителя _n-1. Исследуя это влияние можно найти, при каком значении Ki определитель _n-1 станет равен нулю, а потом - отрицательным (рис.67). Это и будет предельное значение исследуемого параметра, после которого система становится неустойчивой.

4) Управляемость и наблюдаемость являются столь же важными свойствами объектов, как и их устойчивость. Оценка управляемости объекта должна предшествовать постановке любой задачи динамической оптимизации, ибо для не полностью управляемого объекта такая задача может оказаться неразрешимой. Оценка наблюдаемости объекта должна предшествовать постановке задачи его идентификации, ибо не полностью наблюдаемый объект не может быть идентифицирован. Для оценки управляемости и наблюдаемости обычно используются уравнение состояния и уравнение выхода объекта в их векторно-матричной форме

(1)

где X – n -мерный вектор-столбец переменных состояния;

Y – q -мерный вектор-столбец выходных переменных;

U – m -мерный вектор-столбец управлений ();

- постоянные матрицы указанных размерностей.

Управляемость объекта. Этот термин физически означает возможность перевода объекта из любого начального состояния (режима работы) X( t ₀ )=X ₀в любое конечное состояние X (t _к)= X _к за конечное время путем приложения допустимого управления U (t). Объект, обладающий указанным свойством, называется полностью управляемым. Иными словами, если объект полностью управляем, то всегда найдется такое допустимое управление, которое за конечное время обеспечит перевод данного объекта из любого начального состояния в любое заданное конечное состояние.

Оценка управляемости осуществляется на основе критерия Р. Калмана, согласно которому для полной управляемости объекта (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

(2)

Формирование блочной матрицы в выражении (2) целесообразно выполнять по итерационному алгоритму:

Всего указанная матрица содержит n блоков по m столбцов каждый. Из любых n столбцов можно составить определитель размерности . Общее количество таких определителей определяется по формуле числа сочетаний

Если хотя бы один из определителей не равен нулю, то условие (2) выполняется и, следовательно, объект полностью управляем.

В частном случае, когда m =1, проверка выполнения условия (2) сводится к вычислению единственного определителя

,

(здесь b – есть матрица-столбец), который должен быть отличен от нуля.

При заранее известном ранге матрицы B, равном r, критерий (2) упрощается и принимает вид

(2’)

В этом случае размерность матричных блоков сохраняется, но их количество сокращается на величину r- 1, что значительно упрощает применение критерия.

Если матрица А объекта (1) имеетканоническую диагональную форму:

то целесообразно использовать еще более простой критерий Е. Гильберта, согласно которому для полной управляемости такого объекта необходимо и достаточно, чтобы матрица В не содержала нулевых строк. Например:

при , т.к. определитель Вандермонда

Если матрица A объекта (1)имеет каноническую жордановую форму:

,

то для полной управляемости такого объекта необходимо и достаточно, чтобы последняя строка матрицы B была ненулевой. Например:

при

Наконец, если модель объекта (1)представлена в нормальной форме, то такой объект полностью управляем при любых численных значениях его параметров. Например:

Управляемость по выходу. Этот термин физически означает возможность перевода выхода объекта из любого состояния Y( t ₀ ) = Y₀ в любое другое состояние Y (t _к) = Y _к за конечное время t _к путем приложения допустимого управления.

Критерий полной управляемости по выходу в самом общем случае имеет вид

(3)

где q – число выходных переменных объекта (или число строк матрицы C). Для выполнения условия (3) необходимо (но недостаточно), чтобы матрица была полного ранга, т.е. rang C = q.

Наблюдаемость объекта. Этот термин физически означает возможность определения начального состояния объекта X ₀ по результатам наблюдений за его выходом Y (t) на конечном интервале (см. рис. 1). Объект, обладающий таким свойством, называется полностью наблюдаемым.

x

t

x 10

x 30

x 20

x 1

x 3

Рис. 1

x 2

На рисунке показаны графики двух наблюдаемых переменных состояния x ₁(t), x ₃(t), которые являются компонентами вектора выхода Y (t) трехмерного объекта (y ₁=x₁, y₂=x₃). Если такой объект полностью наблюдаемый, то это означает, что, используя известные начальные значения y ₁₀= x ₁₀, y ₂₀= x ₃₀ и последующие значения x _{1 i}, x _{3 i} при t_i ≤ t _к, можно вычислить начальное значение x ₂₀. Многократно сдвигая интервал наблюдения на величину , можно вычислить значение и другие последующие значения переменной x ₂(t).

Согласно критерию Р. Калмана для полной наблюдаемости объекта необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

, (4)

где т – символ операции транспонирования матриц. Поскольку при транспонировании ранг матриц не изменяется, то при известном ранге матрицы С, равном r, подобно (2^’) вместо (4) можно пользоваться выражением

(4’)

Если матрица А имеет каноническую диагональную форму, то согласно критерию Е. Гильберта для полной наблюдаемости объекта необходимо и достаточно, чтобы матрица С не содержала нулевых столбцов. Например:

тогда согласно (4) находим

при

Если же матрица А имеет каноническую жордановую форму, то для полной наблюдаемости объекта необходимо и достаточно, чтобы первый столбец матрицы С был ненулевым. Например:

Имеется существенная разница между наблюдаемостью по Калману и обычной практической наблюдаемостью (измеряемостью) объекта. С практической точки зрения наблюдаемыми являются лишь те переменные состояния, которые можно непосредственно измерить с помощью существующих измерительных устройств. Наблюдаемыми же по Калману являются не только непосредственно измеряемые переменные, но и те переменные, которые могут быть вычислены как некоторые функции непосредственно измеряемых переменных.

Отсюда очевидно, что полная наблюдаемость по Калману является лишь необходимым, но недостаточным, условием практической наблюдаемости.

С другой стороны, полная практическая наблюдаемость, означающая возможность непосредственного измерения всех переменных состояния объекта, является достаточным, но отнюдь необязательным, условием полной наблюдаемости по Калману. Действительно, если все переменные состояния доступны непосредственному измерению, то матрица наблюдаемости имеет диагональный вид: С = C ^T = diag(c ₁₁, c ₁₂, …, c _nn), где c_ii - коэффициенты передачи измерительных устройств. При этом rang C ^T = n, поэтому условие (4) всегда выполняется независимо от вида матрицы А.

Оценка управляемости и наблюдаемости объектов по их структурным схемам. Всякий сложный объект состоит из отдельных, связанных между собой блоков. Для каждого блока на основании его передаточной функции можно получить уравнения состояния и по ним, применяя указанные выше критерии, оценить управляемость и наблюдаемость этого блока. Для оценки управляемости и наблюдаемости всего объекта можно использовать приводимые ниже теоремы.

x 1

(y 1)

x 2 2

u

x

(y)

Теорема 1. Для полной управляемости и полной наблюдаемости объекта, состоящего из параллельно соединенных блоков (рис. 2), необходимо и достаточно полной управляемости и наблюдаемости каждого отдельного блока.

(y 2)

Рис. 2

Теорема 2. Для полной управляемости и наблюдаемости объекта, состоящего из последовательно соединенных блоков (рис. 3), необходимо (но недостаточно) полной управляемости и наблюдаемости каждого блока.

u= u ₁ x ₁= u ₂ x ₂= x

1 (y ₁) 2 (y ₂= y)

Рис. 3

Теорема 3. Для полной управляемости и наблюдаемости объекта с обратной связью (рис. 4) необходимо и достаточно полной управляемости и наблюдаемости последовательного соединения блоков прямого канала и цепи ОС.

u u ₁ x ₁

+ _ (y)

x ₂ u ₂

Рис. 4

Можно дать и другую формулировку теоремы 3: для полной управляемости и наблюдаемости замкнутой САУ необходимо и достаточно полной управляемости и наблюдаемости соответствующей разомкнутой САУ.

Практическая целесообразность использования приведенных теорем достаточно очевидна. Пусть, например, объект состоит из двух структурных блоков, причем порядок каждого блока n = 5. Тогда общее число уравнений состояния такого объекта равно 10 и, следовательно, матрица A уравнения (1) имеет 100 элементов. В то же время матрицы A для каждого отдельного блока имеет только по 25 элементов, т. е. в 4 раза меньше. Отсюда ясно, что двукратное использование критерия (2) при n = 5 потребует значительно меньших ресурсов ЦВМ, чем его однократное использование при n = 10.

Если передаточная функция объекта имеет хотя бы один нуль, равный ее полюсу, то объект не может быть одновременно полностью управляемым и полностью наблюдаемым. Поэтому внешним признаком такой неполной управляемости или наблюдаемости является наличие одинаковых операторных полиномов в числителе и знаменателе передаточной функции объекта.

Управляемость и наблюдаемость типовых динамических звеньев.

Утверждение 1. Идеальное интегрирующее звено, апериодические звенья первого и второго порядков, а так же колебательное звено полностью управляемы и наблюдаемы при любых численных значениях их параметров.

В справедливости данного утверждения легко убедиться путем непосредственного применения критериев (2), (4) к уравнениям состояния перечисленных звеньев.

Утверждение 2. Безынерционное усилительное звено полностью управляемо и наблюдаемо при любых значениях его коэффициента усиления.

Для данного звена нельзя записать уравнение состояния, поэтому доказательством утверждения может служить простое рассуждение. Последовательное соединение этого звена и, например, апериодического звена первого порядка эквивалентно тоже апериодическому звену первого порядка, но с другим коэффициентом усиления. Поскольку согласно утверждению 1 новое

апериодическое звено полностью управляемо и наблюдаемо, то из выполнимости необходимых условий теоремы 2 следует, что безынерционное усилительное звено формально тоже является полностью управляемым и наблюдаемым.

Утверждение 3. Реальное дифференцирующее звено со статизмом полностью управляемо и наблюдаемо при любых значениях его параметров.

Доказательство аналогично вышеприведенному. Эквивалентом указанного звена является параллельное соединение безынерцинного усилительного звена и апериодического звена первого порядка, поэтому из утверждений 1, 2 и теоремы 1 следует справедливость данного утверждения.

Утверждение 4. Реальное дифференцирующее звено без статизма полностью управляемо и наблюдаемо при любых значениях его параметров.

Параллельное соединение указанного звена и апериодического звена первого порядка с одинаковыми постоянными времени в знаменателях их передаточных функций эквивалентно реальному дифференцирующему звену со статизмом, поэтому из утверждения 3 и теоремы 1 следует справедливость данного утверждения.

Утверждение 5. Идеальное дифференцирующее звено полностью управляемо и наблюдаемо.

Последовательное соединение указанного звена и апериодического звена первого порядка эквивалентно реальному дифференцирующему звену без статизма, которое согласно утверждению 4 полностью управляемо и наблюдаемо. Поэтому из утверждения 1 и теоремы 2 очевидна справедливость данного утверждения.

Для контроля усвоения материала лекции студентам предлагается самостоятельно ответить на два вопроса:

1) Может ли неустойчивый объект быть полностью управляемым?

2) Справедлива ли гипотеза: объект, состоящий из последовательно соединенных интегрирующих, колебательных и апериодических звеньев, полностью управляем при любых параметрах этих звеньев и очередности их следования?

Ответы необходимо подтвердить конкретными примерами.